小学数学新课标解读之“几何与图形”分析与研讨
王晓萍
“图形与几何”的课程内容，在小学阶段分为图形的认识、测量、图形的运动、图形与位置四个部分，它们以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心展开。我们接下来的讨论交流将围绕着“如何在这四个部分的课程内容中，来发展学生的空间观念、几何直观和推理能力，落实四基中的后两基”为主线展开。
一、图形的认识
1、图形的认识的内容主线
我们首先来看图形的认识的内容主线。主要有如下的几条基本线索：
一是从立体到平面再到立体。
新课标对空间观念这个核心词的描述有这样一条：根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体。教材这样的编排正好体现这样一个过程：从立体图形中找到平面图形，从平面图形中还原立体图形。在教学中要把握好这条主线，建立学生的空间观念。
二是从生活中的实物抽象出图形到应用于生活。
例如圆的认识，首先让学生观察生活中的大量现实模型，然后抽象出圆形，探究其特征。这一点大家都能充分认识并做得非常好，但反过来将图形及其特征应用到生活中去，重视的不够。我们的教材有这样一道练习：这就是应用于生活。当学生在尝试解决这个问题问题时，不仅促进了对圆性质的理解，同时还发展了学生解决问题的能力。
三是从直观辩认图形到操作探索图形的特征。
例如对于长方形的认识，课标中对第一、二学段的要求就有明显的层次：从辨认到初步认识特征再到探索并掌握周长、面积公式。这样从直观辩认到探索特征符合儿童的认知规律。我们在教学中一定要把握好每个学段的目标，到位而不越位。
四是从直观图形到曲边图形。
在这个过程中，“化曲为直”的思想将初步渗透。
五是从静态到动态。
第一阶段主要侧重于静态，第二阶段则侧重于动态认识。还是以长方形为例。例如认识它的轴对称性，知道绕长或宽旋转一周形成圆柱等等，这些都是进一步丰富对长方形的认识。
２、教学中注意问题
纵观整个“图形的认识”这部分，我们的教学中哪些问题是薄弱环节，需要引起我们的重视呢？
一是设计丰富的素材促进学生进行平面和立体的转化。这是培养空间观念的重要途径。在小学阶段，二者的转化的内容主要有：
（1）立体图形的展开与平面图形的折叠，例如长方体的展开图；
（2）从正面、侧面、上面等观察立体图形得到平面图形与根据观察到的图形还原立体图形。例如观察物体时一方面让学生观察立体图形并且用语言描述自己的所见，另一方面通过想象还原立体图形，在这个过程中，培养学生的观察能力，在头脑中形成对图形的直观印象，积累空间想象的经验，发展空间观察；
（3）长方形绕长或宽旋转一周形成圆柱与切割得到长方形，直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥与圆锥切割得到三角形。
二是加强动手操作，积累活动经验。
在认识图形的过程中，一定要创设活动，给学生提供大量的折叠、剪接、画图、测量、制作模型、分类等活动的时间和空间。让学生在操作中亲身感受图形的性质，同时也积累了数学活动经验，发展了空间观念。例如将长方形对折，不仅会发现对边相等，而且进一步体会了长方形的轴对称性。
三是操作一定要与观察、想象、推理、表达等活动相结合。例如对于长方形特征的探索，教师可以首先鼓励学生观察，提出一些猜想。在此基础上，教师可以鼓励学生运用操作对猜想进行验证。最后鼓励学生用自己的语言表达出长方形的特征。脱离了想象、推理等形象思维活动，操作只能是低效的甚至是无效的。
3、如何建立学生的空间观念
图形与几何部分是培养空间观念的主阵地。说到空间观念，我们总是觉得熟悉又陌生。空间观念到底指什么？课程标准中是这样描述的：根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等。由此可见，空间观念的培养贯穿于图形与几何的整个教学过程中。
那么在图形的认识这部分的教学中，如何建立学生的空间观念呢？下面我们以《圆柱的认识》一课为例，来具体分析一下。
这是北京王晓松老师的《圆柱的认识》一课的教学设计。这节课王老师设计了丰富多彩的活动。在看的过程中，我们大家一起思考这样一个问题：
一是发展学生的空间观念在本节课中是如何体现的？
1．建立“空间观念”需要关注生活现实模型与数学模型间的联系
我们生活在一个模型的世界里，学生从小就开始接触各种生活模型，他们对于生活中物体的形状有一定的认识基础，这些现实生活中丰富的生活现实模型是发展学生空间观念的宝贵资源。因此，在研究圆柱这一内容时应该先让学生观察生活中的大量现实模型（呈现的种类要丰富），再从现实模型中抽象出数学模型。
2．建立“空间观念”需要全方位、多角度的观察图形
全方位、多角度的观察是促使学生建立和发展“空间观念”的主要途径之一。通过整体观察，不同的图形中辨认，细致观察圆柱特征，不同角度观察外型等活动，促使学生逐步建立圆柱的表象，明确圆柱的特征，从而促进学生“空间观念”的形成。
3．建立“空间观念”需要加强动手操作
空间观念的形成，只靠观察是不够的，教师还应该引导学生进行动手操作活动，通过圆柱侧面剪开后的比较，测量圆柱的高，画圆柱的立体图，转动小棒体会圆柱的形成过程，制作圆柱模型等活动，调动视觉、触觉、听觉等多种感官，促使“空间观念”的形成和发展。
4．建立“空间观念”需要给学生思考的空间
在促使学生“空间观念”形成的过程中，要注意给学生思考的空间。例如，在讨论圆柱分成两部分后截面的形状问题时，不要立刻就采用操作、验证的方法，先想一想，猜一猜，再动手试一试，再猜一猜，试一试。让学生有充分的时间去体验，调整自己的认识，不断地超越自己，才能更好的建立“空间观念”。
以此课为例，希望对其他图形认识的教学中如何建立学生的空间观念，能有一定的启发。
二、图形的测量
接下来我们看图形与几何的第二部分：图形的测量。
图形的测量这部分的要求主要包括：体会测量的意义，体会并认识度量的单位及其实际意义，了解测量的一些基本方法，掌握一些基本图形的长度（包括周长）、面积和体积的测量方法和公式，在具体问题中进行恰当的估测。
在这部分的教学中，需要注意哪些问题呢？
1、理解与把握度量单位的实际意义。
昨天上午的学习中，我们曾经提到让学生填写合适的单位，如时间单位、质量单位等，学生错误率非常高。这个问题在长度、面积、体积等单位的填写中仍然是错误百出。例如，小明身高120（ ），有的学生甚至填写了120米。原因何在？我们大家都知道，就是没有建立起单位的表象，对每个单位的实际意义不清楚。那么如何让学生理解与把握度量单位的实际意义呢？以二年级《分米、毫米的认识》这节课为例。今年我在教学这部分的内容时，课堂上我自认为学生关于1分米、1毫米的表象建立了很明晰，在尺子上找、找大约1分米长的身边的事物等大量的观察、操作活动后，可后面填写合适的单位时仍然错误很多。当时我就查阅了一些资料，正合适这次远程研修时又提到了这个问题，对于出现的问题终于有了明确的认识。也就是说，单位表象不是一课、一时之功，它需要后续一系列活动来进一步建立表象。课标中明确要求：在实践活动中，体会并认识……。大家可以想一想，新授课之后，我们还需要设计怎样的实践活动帮助学生理解与把握试题单位的实际意义呢？
一是要重视在实际的测量活动中建立表象。
设计一些有意义的测量活动，例如：测量教室的长度、测量爸爸、妈妈和自己的身高，测量一些常见物体的长度与高度等等，在测量的过程中可以根据测量内容，由学生自己选择度量单位、工具和方法进行测量。例如测量橡皮的长度，要选择厘米或毫米等较小的测量单位，选择直尺即可；而用直尺去量篮球场的长度显然不是一个明智的选择。学生在操作中会进一步建立单位长度的表象，同时还感受测量的实际意义，掌握测量长度的具体方法。
二是注意将估测与精确测量有机结合
可以让学生借助标准长度的表象进行估测，然后利用精确测量的结果不断调整之前估测的结果，帮助学生逐步建立单位的正确表象。
通过以上这些方式，使学生形成和获得度量单位的清晰表象，在今后的测量或计算过程中，学生头脑中的那种表象就会起到非常重要的支撑作用，脑中便会浮现相应的空间意义，这样学生就能正确解答相关问题，大大减少上述错例中的问题。
2、重视估测。
刚才在测量活动中我们提到了估测。估测或估计是本次课程标准突出强调的内容，第一学段提出：能估测一些物体的长度，会估计给定简单图形的面积；第二学段提：会用方格纸估计不规则图形的面积。估测这部分知识由于在我们的笔试测验中不好检测，所以这也是我们教学的薄弱地带。那么，估测的价值是什么？以远程研修的这道题为例：通常的做法是数方格。先数整格，现数半格，把不满整格的进行整合，最后累加。但是这种估算不规则图形面积的方法并没能体现估算的价值，此题还可以挖掘更丰富、更深刻的内涵。充分体现该题的数学教育价值。
教学时教师可以帮助学生事先做好规划，鼓励学生运用不同的方法估计图形的面积。例如，教学中教师可以启发学生首先观察图形，边观察边进行思考“你认为曲线所围成的面积结果可能会在那个范围之间呢？你能用已有的经验来解决这个问题吗？”教师可以引导学生试一试。首先选择好用来估计的“单位”即：以图形中的一个小方格为一个单位。再找出曲线围成图形面积的上界和下界。学生可以这样操作，先数出曲线围成图形内包含的完整小方格数，用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的下界（有75个这样的单位）；然后再数出曲线围成图形边缘接触到的所有的小方格数，也用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的上界（有113个这样的单位）。进一步引导学生发现，第一种方法估计的比实际面积小，第二种方法估计的比实际面积大，实际的面积是在这两个数之间。由此确定曲线围成图形面积可能的取值范围。
在此基础上教师可以鼓励引导学生用自己的方法进行估计，通过记录、计算、比较的探究过程，体会估算的意义和方法。
教师继续追问“那么还有什么方法能使估算的结果更接近实际面积的吗？试一试！”对学有余力的学生无疑是提出了更富有挑战性的问题。引导学生将所有的方格等分成更小的方格，继续利用上面的经验，探索出更接近实际面积的估计值。渗透极限思想。
“数方格”的设计没能充分体现估算的学习价值，只是把估算当成一个操作技能去教了，为了教估算而估算。“寻找区间”的设计则注重学生估算意识和方法的培养。特别是选择合适的估计“单位”是引导学生进行有效估算的关键，引导学生体验逐渐逼近的极限思想。教学过程中教师要注重帮助学生养成事先做好规划的习惯，启发学生运用不同的方法估计图形的面积。通过对上界、下界的确定，帮助学生寻求取值范围，找到合适的区间。这个上界、下界的确定，对学生体验估算是很有意义的。这是真正意义上估算价值的体现。特别是通过教师引导学生将方格等分成更小的方格，使估计值更逼近准确值，从中渗透“极限”的数学思想。这对学生的数学学习是很有意义的。
3、在具体情境中，注重对所测量的量的实际意义的理解。
这部分内容的教学中，关于图形的周长和面积的计算，学生常常混淆。请大家想一想，这背后的错误原因是什么呢？显而易见，就是学生没有真正掌握这些概念的本质含义。“周长”“面积”概念的理解不清晰导致的。
在周长、面积、体积三个度量的量中，哪个量最难理解？是周长！为什么呢？因为长度同属于一维空间的测量，但它却用于二维图形（平面、曲面）上。因为面积和周长同处于一个平面内，平时我们在观察图形时首先关注的一定是面积，所以学生对周长的感知会差一些，在解决周长和面积的问题时也易发生混淆。看来问题的首要解决办法是对周长的实际意义的理解。课例：专题三25分5秒。
这个教学片断的设计对理解周长的实际意义来说，好不好？好在哪里？
当然，对于周长意义的理解，也不是这节课就能完成的。借鉴刚才长度单位表象的建立，大家想一想后续教学中还应该做些什么呢？
首先教学中还应让学生通过操作活动感悟和理解周长的含义。如用绳子、直尺等工具来测量一般封闭图形的周长，。学生在实际操作时体会概念的本质，也能很好的区分概念的不同。
其次，测量不仅包括规则图形，还应包括由规则图形组合成的图形或不规则图形，如心形、树叶、不规则多边形等的周长，这些图形不仅让学生领悟、理解概念的含义，同时还能学习测量不规则图形周长的方法，渗透数学思想和方法。
这样，在认识了周长的本质含义之后，再学习长方形、正方形特别是圆的周长时，就是一个从一般到个别的过程。因为所有图形的周长都是一周长度的和，不同的只是有的图形的计算方法比较简便，例如长方形、正方形。曾经我还和同事们讨论过这样一个问题：长方形、正方形的周长的计算，用不用优化计算公式？例如一个长方形，长是5厘米，宽是3厘米，学生一般会出现三种算法，哪些算法最能体现周长的本质含义？所以我教学时对于计算公式，在刚开始的练习中，没有特别的强调和优化，甚至有点放任自流的感觉。当然这种做法是否正确，还值得商榷。
除了理解量的本质之外，我们还应该有意识地加强周长和面积之间的对比。例如教材在长、正方形周长学完后，直到圆才又一次探索周长。我们不妨在学习常见图形，例如三角形、平行四边形、梯形时，除了关注面积，也有意识地让学生求一求周长，将二者加以对比和区分。还可以设计一些实际问题，让学生选择是用周长还是用面积来解决，在应用中进行体会和区分。
4、在探索计算公式的过程中，培养推理能力。
以《平行四边形的面积》一课为例。这个探索活动的设计，是把推理能力的发展贯穿在整个数学学习过程中。让学生经历了观察、实验、猜想、证明的过程，，将合情推理和演绎推理有机的结合，有助于发展学生的逻辑思维能力。
5、如何帮助学生在图形测量过程中感悟数学思想，积累数学活动经验？
例如，圆是第一、二学段学习的平面图形中唯一的一个曲线图形，对它的周长以及面积的探索和公式的给出都具有一定的挑战性，需要学生经历分析圆的半径与周长关系的过程，并通过对特殊情况的归纳得出圆的面积公式。这个过程有助于学生提高分析问题、解决问题的能力，获得数学活动的经验，体会“转化”、“极限”、“函数”等数学思想。
数学思想方法伴随学生知识、思维的发展逐渐被理解，它的感悟是在学生数学活动中积累的。学生只有在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，才能逐步感悟数学思想方法。所以我们在教学中，一定要重视面积、体积等计算公式的推导过程，在推导公式的过程中让学生体会数学的思想方法，积累活动经验，培养推理能力。
三、图形的运动
1、为什么要学习“图形的运动”这部分内容？
图形的运动这部分的内容，在小学阶段包括轴对称、平移、旋转。乍一看，这部分的内容很孤立，与图形的认识、测量等关联不大。仔细回想，它们之间还是有关联的。第一，图形的运动提供了动态研究图形的新角度，也是对图形性质的进一步认识，同时也使学生感受到图形变换与图形认识的联系。例如，对于正方形、长方形、圆等，可以通过折叠等活动认识它们的轴对称性。再进一步，通过比较这些图形对称轴的不同，从而感受到圆是一个最具“对称”性的图形。第二，从运动变换的角度理解度量。例如平行四边形面积公式的推导过程，会用割补法等方法将平行四边形转化为长方形。在割补的过程中经过了平移运动。在三角形面积公式的推导过程，将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，这经过了旋转和平移运动。
此外，现实生活中存在着大量的图形的运动的现象，教学中希望提供给学生一种数学的眼光，去认识和把握这些现象。这也是这部分内容的教学价值。
2、明确平移、旋转、轴对称的基本要素。
请大家想一想，平移的要素是什么？一是方向，二是距离。
旋转的要素是什么时候？一是旋转中心，二是旋转角度（有方向）
轴对称呢？关键在于找到对称轴。
3、教学中常出现问题
一是平移教学中出现的问题。什么问题？学生常常不会找平移前后两个对应点之间的格数，而是房子中间空白那一段的格数。怎么办？因为几何图形是点的集合，所以这时要引导学生观察局部的点（房子顶）的变化情况，通过一格一格的数来寻找正确的格数。这时已经从整体感知到细致刻画了。当然这个过程一定要让学生动手操作。在操作的过程中，要与适当的想象相结合。三年级可以先操作然后回想变换的过程，四年级可以先去想象，然后再去操作，然后再回想。
二是旋转教学中出现的问题。教学中怎样解决这个问题？
小结：在这部分的教学，一定要重视学生在具体情境中直观认识运动现象，然后通过操作活动体会运动的特征，还要与想象有机相结合。
四、图形与位置
第一、二学段“图形与位置”的内容是按两条线索展开的：一是确定物体的相对位置；二是辨认方向和使用路线图。两方面内容是有区别的。但是它们并非截然分开，而是有联系的，无论是上下、前后、左右，还是东、南、西、北，都既可以用来描述物体的相对位置，又可以用来说明方向
描述物体的位置具有相对性，需要确定观测点。观测点的教学是个难点，例如二年级、五年级（图），学生没有认识到位置的“相对性”，没有感受到确定观测点的重要性。以这两题为例，谈谈你在教学中有哪些好的做法？
五、核心概念：几何直观
1、什么是几何直观？
几何直观是本次课标修订中新提出的一个核心概念，也是图形与几何部分的一个核心概念。那么，怎样理解几何直观这个核心概念呢？顾名思义，几何直观所指有两点：一是几何，二是直观，综合起来，就是依托、利用图形进行数学的思考和想象，它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。修订后的课标是这样定义的：主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
初读之后，我就从中嗅到了“数形结合”的味道。当然这肯定有所偏颇，不完整、不准确之处，一会儿请大家接着补充。我先来谈谈对数形结合的理解。
很多重要的数学内容、概念，都具有双重性，既有数的特征，也有形的特征。只有从两个方面认识它们，才能很好地理解它们、掌握它们的本质意义。例如数、度量、函数等。回想一下，哪些数学内容我们很好地利用了数形结合的思想呢？
对于数与形结合思想，小学阶段主要是引导学生利用各种直观手段理解和掌握知识、解决问题。主要在以下几个方面有所体现。
（ 1 ）数的表示
用直线上的点表示数，可以明确地表示出数的性质（有始无终，有序性等等）；
（ 2 ）计算中的形
昨天邹燕娜老师在运算教学中提到的直观模型，如摆小棒、点子图、计数器等。这些都使运算变得实物化、图形化和操作化，便于人们直观理解数和计算。
（ 3 ）解决问题中的形
画线段图表示数量关系，解决问题的直观策略
（ 4）统计中的图形
条形统计图直观地反映出数量的多少，折线统计图形象地表示数量发展的趋势，扇形统计图鲜明地说明部分数量与整体数量之间的关系。