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第1课时教学设计课题 向量的加、减运算课型 新授课一、内容及其解析 1.内容 （1）平面向量的加法的三角形法则、平行四边形法则，及运算律. （2）平面向量的减法的法则. （3）平面向量加、减法的简单应用 2.内容解析 向量是近代数学中最重要和最基本的数学概念之一，是沟通代数和几何的一种工具。纵观整个中学数学教材，向量是一个知识的交汇点，它在平面几何、立体几何等章节中都有着重要作用。本节课是在学习了向量的实际背 景及基本概念后对向量加法、向量加法的三角形法则和平行四边形法则以及向量加法的运算律做的进一步探究，初步展现了向量所具有的优良运算通性，向量的加法更是后续学习的铺垫,因为向量加法运算是平面向量的线性运算(向量加法、向量减法、向量数乘运算以及它们之间的混合运算)中最基本、最重要的运算,减法运算、数乘向量运算都可以归结为加法运算;同时，加法法则又是解决物理学、工程技术中有关问题的重要方法之一，体现了数学来源于实践，又应用于实践. 二、目标及其解析 1.目标 （１）通过位移、力的合成，定义向量的加法、三角形法则和平行四边形法则； （２）能借助向量的几何表示，作出两个向量的和； （３）通过类比数的加法运算律，猜想向量加法的运算律并利用向量的几何表示验证，体会向量运算与数的运算的区别与联系，提升数学运算的素养． （4）能够从向量的加法类比实数运算抽象出向量减法的三角形法则，借助向量加法的几何背景，理解向量减法的几何意义. （5）能类比数的减法定义向量的减法，能画图表示两个向量减法的结果，能依据向量减法的定义，并借助其几何意义探讨向量减法的运算法则。 2.目标解析 达成上述目标的标志是： （1）学生能清晰的说出向量加法运算的含义，并能解释向量加法的两个运算法则，在交流探讨的过程中形成抽象思维，深刻理解向量加法的运算法则，能用简约的数学语言表达自己的想法和思考过程。 （2）学生能画图表示两个向量加法的结果，能依据向量加法的定义，并借助其几何意义探讨向量加法的运算规则，学生能计算具体的一类共线向量的加法。 （3）学生能清晰的说出向量减法运算的含义，并能解释向量减法的三角形法则，在交流探讨的过程中形成抽象思维，深刻理解向量减法的运算法则，能用简约的数学语言表达自己的想法和思考过程。 （4）学生在与同学交流的过程中对向量减法运算的解题步骤及思维方法进行评估、总结与拓展，反思对于向量减法法则的认识，结合向量的加法反思运用向量减法的重要性。 三、教学问题诊断分析 1.1学生的认知基础 （１）从物理角度，学生已经学习了位移、力的合成与分解．在具体问题中，学生能够用有向线段画出位移、力的合成。 （２）从代数角度，学生已经学习了数、式、集合、函数等运算，也体会到运算是代数研究的重要内容．尤其对实数运算的研究过程，学生比较完整的经历了从运算对象到运算法则、运算律，直至运算应用的研究过程，初步积累了建立运算体系的经验． （３）从几何角度，学生已经系统学面几何，具备相应的知识基础以及一定的关于几何图形研究的经验．另外，学生具备一定的观察问题、分析问题的能力，具备能从简单的实际背景中抽象出数学概念的能力，这些都是学生学习本单元的良好基础。 1.2学生可能遇到的困难 （１）从物理角度，学生有利用数学知识研究物理问题的经验，如利用三角函数研究物理中的弹簧振子、交变电流等．在研究向量之前，学生不具备从物理背景引出数学内容的经验，所以从具体的物理实例引出向量运算，学生会存在一定困难． （２）从代数角度，向量既有大小，也有方向．我们类比数的运算研究向量的运算，在向量的运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．学生很容易带着实数运算的思维定势来理解向量的运算，出现对向量运算理解不到位． （３）从几何角度，向量加法的定义是用作图语言来刻画的，对直接通过作图定义向量运算这种处理方法，学生也是第一次接触. 四、教学重点与难点 教学重点：向量加法的法则、减法的定义、向量减法的运算法则及其几何意义。 教学难点：向量加法概念的形成过程，对向量加法法则的理解，以及减法定义得理解 五、教学支持条件分析 彩色粉笔、黑板、GGB课件演示 六、学习评价设计 高中数学学习评价关注学生知识技能的掌握，更关注数学学科核心素养的形成和发展，制定科学合理的学业质量要求，促进学生在不同学习阶段数学学科核心素养水平的达成。评价既要关注学生学习的结果，更要重视学生学习的过程。 评价方式：本节课对学生学习效果及教师自身教学效果的评价，围绕教学目标的落实情况，以过程性评价为主，形成性评价为辅的原则进行。 （一）过程性评价 在课堂教学过程中，从学生的参与程度、概括能力、推理能力、学习兴趣、交流合作、情绪情感方面对学习进行评价。通过观察，对学生的学习过程进行评价，包括学习态度、参与小组合作学习的积极程度（是否能积极进行思考、表达自己的想法、倾听别人的想法并提出意见和建议）、能否理解并有条理地表达数学内容。 评价量规:评价标准 评价内容非常好比较好一般不太好不学习态度注意力非常集中，非常主动、积极地参与到教学活动中注意力比较集中，很主动、积极地参与到教学活动中注意力基本能集中，能主动、积极地参与到教学活动中注意力不太集中，被动地参与任何教学活动注意力不集中，不参与任何教学活动独立思考对于老师提出的问题积极进行思考，并表达自己的想法，还能提出问题对于老师提出的问题积极进行思考，并愿意表达自己的想法对于老师提出的问题进行思考，但不愿表达自己的想法对于老师提出的问题进行思考，没有想法对于老师提出的问题不进行思考参与小组合作非常积极地织并主动参与小组合作主动参与小组合作能参与小组合作在小组合作中只听别人说，别人操作，自己不思考，不动手不参与小组合作表达数学内容理解并有条理地表达数学内容理解并并能用自己的语言表达数学内容明白数学内容但表达的不清晰对数学内容不十分清楚，表达不出不愿表达数学内容自我反思习惯对自己的学习中的情况进行反思经常对自己的学习中的情况进行反思对自己的学习中的情况能进行反思很少对自己的学习中的情况进行反思不对自己的学习中的情况进行反思（二）阶段性评价 通过针对性练习的完成情况对学生的阶段性学习成果进行评价。七、学习活动设计 本课时教学流程图：我们知道两个实数可以进行运算，从而使数威力无穷，那么向量是否也能像数一样进行 运算？若能，怎样定义它的加法、减法和乘法？其运算结果是什么？下面就从向量的物理背 景出发，类比数的运算研究向量的运算。 本节课我们先来研究向量的加、减运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用。 （一）创设问题情境，明确研究对象 问题1：如图所示，假设某人上午从点A到达了点B，下午从点B 到达了点C. （1）分别用向量表示出该人上午的位移，下午的位移以及这一天的位移； （2）这一天的位移与上午的位移，下午的位移有什么联系呢？ 预设：学生依据位移合成的有关知识，发现一天的位移是 上、下午两次位移,的和.体会位移的合成是把两 个向量“合”在一起. （二）借助物理背景，定义向量加法 问题2：由位移的合成，你认为可以如何进行两个向量的加法运算？ 追问1：如图，已知非零向量a，b，怎样进行这两个向量的加法？预设：在平面内任取一点A ，以A为起点，作向量 等于向量a,再以B为起点作向量 等于b，此时向量就叫做向量a与向量b的和。也称向量 为向量a与向量b的 和向量，记作向量a + b。即：a + b= 。这样我们就可以用图表示出向量a 与向量b的和。 教师指出：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. （向量a与向量b不共线时，向量a、向量b，向量a+b正好能构成一个三角形） 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型. 教师活动：给出向量加法的定义及向量加法的三角形法则。对于向量加法的三角形法则，教 师要关注学生对它的意义的理解，强调向量的和的大小和方向。教师要关注全体学生对这个 问题的理解，鼓励学生独立思考，进行交流。 学生活动：学生借助位移的合成引入向量与向量之间的一种运算——向量的加法运算。 追问2：观察向量加法三角形法则的图形特征，你能找到记忆的小窍门吗？ 预设：首先，这两个求和的向量是“首尾相接的”；其次，和向量是“连首尾”的。 问题3：由物理中位移的合成，我们得到了向量加法的三角形法则，对于矢量的合成，物理 学中还有其他方法吗？请看下面的问题. 在光滑的水平面上,沿着两个不同的方向拉动一个静止的物体，如图所示，物体会沿着 力或所在的方向运动吗？如果不会，物体的运动方向将是怎样的？预设：物体在以，为邻边的平行四边形对角线方向上运动.所以，力可以看作是 力与力的和。从运算的角度看，向量可以看作是向量与向量的和。力的合成 可以看作向量的加法。 追问1：从力的合成受到启发，你能给出两个向量加法的另一个运算法则吗？ 预设：第一步，在平面内任取一点O第二步，作，第三步，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，第四步，连接OC，则，即为所求.学生活动：独立思考、动手操作后，小组交流，最后师生由力的合成得出向量加法的平行 四边形法则。 教师指出：这种求向量和的作图方法，称为向量加法的平行四边形法则 力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型 根据平行四边形法则的几何特征，我们在记忆时要关注：“共起点”这个特征， 追问2：向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？ 预设：因为平行四边形对边平行且相等，所以向量与向量是相等向量．即向量等于 向量等于向量b，那么向量a + b。由向量加法三角形法则可知，a + b 。 所以两个法则是一致的。 教师指出：因为平行四边形作为几何图形，构成它的基本图形就是三角形，而且平行四边的 性质是对边平行且相等，向量又是自由的，可以通过平移，让共起点的两个向量变成首尾 相接的两个向量的。所以使用平行四边形法则和使用三角形法则可以得到相同的和向量。 所以在本质上两个法则是一致的。 我们以后在使用的时候关注已知向量的几何特征灵活使用就可以了。 学生活动：画图探索，学生代表展示并发表见解，师生共同归纳结论：向量加法的两个法则 本质上是一致的， 解决具体的向量加法问题时，可以有选择地使用。 问题4：向量a+b的模、向量a的模、向量b的模之间有什么关系呢？ 预设：①当a与b不共线时： 在三角形法则中，向量a、向量b、向量a+b正好构成了一个三角形。在这个 图形中，三边的长可以用 、、 来刻画，根据三角形中的三边关系，有 （1）任意两边之和大于第三边，，即； （2）任意两边之差小于第三边，，即； （因为不确定AB边和BC边谁大谁小，因此通过加绝对值来保证模的差是个非负数） 综合三角形三边关系可以得到： 追问1：向量a、b一定能围成三角形吗？有没有特殊情况呢？ 追问2：当向量a、b共线时，三角形法则是否依然适用？ ②当a与b共线时： 分方向相同和方向相反，分类讨论，同向：作，，则反向：作，，则，教师指出：对于共线向量的加法也是遵循位移合成这个物理模型的，与三角形法则是统一的。 在记忆时也可以遵循“首尾相接，再连首尾”的原则。然后看一下长度 同向：作，，则 反向：作，，则 综上， 强调：两向量同向时取到(和向量模)的最大值；两向量反向时取到(和向量模)的最小值。 到现在为止，我们已经会用图形表示出任意两个非零向量的和向量了。 对于零向量与任意向量a，我们规定 a + 0 = 0 + a = a （三）定义出发，探究加法运算律 问题5：根据数的运算的学习经验，定义了一种运算，就要研究相应的运算律，运算律可以 有效的简化运算。类比数的加法的运算律，你认为向量的加法可能满足哪些运算律呢？ 预设：交换律、结合律 追问：你能证明这些猜想吗？ 学生活动：学生自主探究，猜想并互相交流。 预设：①交换律：（分析怎样选法则） 如图：6.2-7（1）作，，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，容易 发现，=，故，又，所以 .交换律成立. 教师指出：向量加法的交换律体现了平行四边形对边平行且相等的性质。可以看出向 量的运算和运算律可以用来刻画几何对象及其性质的．是典型的数形结合的思想． ②结合律：（分析法则选取原因） 如图：6.2-7（2）作=，，， 因为+，，所以， 因为，，所以， 所以， 所以结合律成立. 教师指出：结合律成立说明加法的结果与求和的顺序无关。向量的加法运算和数的 加法运算一样，满足交换律和结合律。所以有限个向量相加的结果是唯一的。我们 可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相加的顺序，以我们方便计算为准。 （四）简单应用，巩固新知 例1、化简：（1）（2） . 预设：（1）原式 （2）原式 例2、长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南 岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h． （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与船实际航行的方向（用与江 水速度间的夹角表示，精确到1°）. 预设：（四）类比数的减法，研究向量的减法 在数的运算中，学完数的加法，我们接着学习了数的减法。类比对实数运算的研究，在 向量的运算中，学习完向量的加法后，我们应该接着学习向量的什么运算呢？——减法 问题6：在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的 相反数”.类比数的减法，向量的减法与加法有什么关系？如何定义向量的减法法则？ 预设：得出向量减法的定义“减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量”. 教师：需要先定义一个类似相反数的工具，相反向量。 a 的相反向量：与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作 a. （1） (a)=a ，. （2）0=0. （3）a+(a)=(a)+a=0. （4）若a，b互为相反向量，则 ab，ba，a+b=0.（相反向量的三种代数表达形式） 向量减法的定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即： ab=a+(b)，求两个 向量差的运算叫做向量的减法. 学生活动：思考回答问题。 问题7：已知非零向量a，b，如何作ab？ 追问：已知非零向量a，b，ab的几何意义是什么？ 预设： 下面我们整理下，已知两个不共线向量a、b，作出向量ab的步骤： 如图，已知向量a，b第一步，在平面内任取一点O；第二步，作， 则，即，即可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量因此通过图形我们得到：向量ab为：从向量b的终点，指向向量a的终点，的向量这就是向量减法的几何意义. 教师：不知道大家发现了没有，两向量作减法时是共起点的，差向量的终点与被减向量的终 点相同。如果两向量作减法时没有共起点，那么可以利用向量是自由的 这个特征，通过平 移找到它的相等向量，使两个作减法的向量变成共起点。依据这样的几何特征，可以把这个 作图的过程记成“共起点，连终点，指向被减” 此时向量a,向量b,向量ab，正好也构成了一个三角形，因此我们可以把这种作图的方 法记成向量减法的三角形法则。 思考1：如果从a的终点到b的终点作向量，那么所得向量是什么？ 预设：ba 思考2：如果改变向量的方向，使，怎样作呢？ 预设：①同向 作，，则②反向 作，，则学生活动：思考回答问题 例1、如图，已知向量a, b , c, d ，求作向量a－b，c－d． 预设：如下图，在平面内任取一点O，作，，则 ， 例2、如图，在平行四边形ABCD中，，你能用a, b表示向量？ 预设：由向量加法的平行四边形法则，可知 ；由向量的减法，可知 . 练习、 ； ； 预设：（1） ；（2） （五）课堂小结，总结提升 问题8：思考并回答下列问题 （1）本节课学习了哪些知识？用到了哪些思想方法？ （2）数学运算研究的基本路径是什么？ 预设： （1）知识上： （2）思想方法：类比、数形结合，提升数学抽象、逻辑推理、几何直观、数学运算素养. （3）数学运算研究的基本路径:八、目标检测设计 1、下列结论一定正确的是（ C ）A. 在中，B. 向量的大小为2，向量的大小为3，则向量的大小为5， C. D. 2、某人在静水中游泳，速度的大小是，水流的速度大小是，他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为度.3、下列结论一定正确的是（ A ） A.B.C.D. 4、如图，四边形ABCD为平行四边形，，，（1） ;（2） .5、化简： （1）；第4题图 （2）.九、板书设计十.作业与拓展学习设计 【思考与作业】 作业A（基础题） 1.如图，在下列各小题中，已知向量，，分别用两种方法求作向量. 解： 法1：法2：（1）法1：法2： （2）法1：法2：（3）法1：法2： （4） 2.当向量，满足什么条件时，(或)解：当且仅当向量，反向时，上式成立。 3.如图，四边形是平行四边形，点在上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打“”，错误的打“”）。 .( ) .( )( ) 解：（1）（×）（2）（√）（3）（×） 4.已知向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向南航行1 km”，则a＋b表示(A) A.向东南航行 km B.向东南航行2 km C.向东北航行 km D.向东北航行2 km 5.如图在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是(C) A.＝，＝ B.＋＝ C.＋＝＋ D.＋＋＝ 第5题图 6.如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋等于 (C) A. B. C.D. 第6题图 7.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于( B) A.1B.2 C.3D.2 第7题图 8.四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(A) A.a－b＋c B.b－(a＋c) C.a＋b＋c D.b－a＋c 9.化简－＋＋的结果等于(B) 第8题图 A. B. C.D. 10.在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，则有 (C) A.＝0B.＝0或＝0 C.ABCD是矩形 D.ABCD是菱形 11.若||＝5，||＝8，则||的取值范围是 (C) A.[3,8]B.(3,8) C.[3,13]D.(3,13) 12.边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为 (D) A.1B.2C. D. 13. 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点， 则－－＋＋＝________. 14.化简(－)－(－)的结果是________.第13题图 15.有一条东西向的小河，一艘小船以河南岸的渡口出发渡口，小船航行速度的大小 为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速 度的大小和方向。 解：如图，表示船速， 表示河水速度， CD以AC、AB为邻边作平行四边形ABDC， 则表示船实际航行的速度。 E AB 由题意得，∠CAB=120，过C作CE∠CAE=60， 在RtCEA中，由=15，=7.5，，=+ =，就是船实际航行的速度。它的方向与垂直。 在RtCEA中，可得所以，船实际航行的方向与岸边垂直，大小为km/h。 作业B（拓展题） 1.已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝______. 2.2020年10月27日，在距离长江口南支航道0.7海里的风机塔上，东海航海保障中心上海航标处顺利完成临海上风电场AIS（船舶自动识别系统）基站的新建工作，中国首个海上风机塔AIS基站宣告建成.已知风机的每个转子叶片的长度为20米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔（杆）的长度为60米，叶片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如下图所示，则的最小值为40. 3.八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=1，则给出下列结论： ① ; ② ; ③ ， 其中正确的结论为（ C ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
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