(3)简易图 就是用简易图的形式描述各种数量之间关系的图示,线条以简洁明了为原 则,重点突出数据和数据之间的关系。简易图一般用于较复杂的事物形态描述。如本书第7 页例11的题意分析图。
典例精讲
方法点一 用格子图解决实际问题
例1一根彩带长240米,把它分成三段,第一段比第二段长20米,第三段是第一段2倍,三段各长多少米?
方法指导
解决此类问题主要是先根据总数量与总份数求出一份量,再求出其他数量。此题中彩带总长度不变,三段相比较,第二段最短,所以把第二段看作一份,则第一段是一份多20米,第三段是第一段的2倍,则是第二段的两倍多两个20米。如图:
观察上图可以发现,这根彩带的总长度是4个第二段的长度和加上3个20米,用(240-20×3)除以4就可以得出第二段的长度,第二段的长度加20米就是第一段的长度,第一段的长度乘2就得到第三段的长度.
正确解答
第二段:(240-20×3)÷4=45(米)
第一段:45+20=64(米)
第三段:65×2=130(米)
答:第一段长65米,第二段长45米,第三段长130米。
例2甲、乙、丙三人各拿出同样多的钱买气球。甲拿到的气球比乙拿到的气球少6个,乙和丙拿到的气球同样多。这样,乙和丙每人要各付给甲1.2元。每个气球售价多少钱?
方法指导
此题中甲、乙、丙三人花了同样多的钱,说明三人买的气球一样多,甲比乙和丙都少拿6个气球,则乙和丙比甲各多拿6个。
甲、乙、丙花同样多的钱!,应该得到同样多的气球,这样如果乙和丙每人给甲2个气球,则甲、乙、丙三人的气球一样多,如图所示。即2个气球的售价是1.2元。由此可以求出一个气球的价钱。
正确解答
1.2÷(6-6×2÷3)
=1.2÷(6-4)
=1.2÷2
=0.6(元)
答:每个气球售价0.6元。
例3 冰化成水体积要减少,水结成冰体积要增加几分之几?
方法指导
解决此类问题,首先要确定把哪一个量看作单位“1”,冰化成水体积减少是和冰本身来比,把冰看作单位“1”;水结成冰体积增加是和水本身来比,把水看作单位“1”。
观察上图发现,11份的冰化成水后,体积为10份,比原来减少1份,10份的水结成冰后,体积是11份,比原来增加1份,增加的1份除以水的体积10份就得到所求问题。
正确解答
答:水结成冰体积要增加。
例4 六年级学生去旅游,男生与女生人数之比是4∶3,男生人数比女生人数多25人,问六年级有多少人去旅游。
方法指导
题中男生与女生人数之比是4∶3,可以把男生人数看作4份,女生人数看作3份,男生比女生多一份,多25人,先求出一份的人数,再求出总人数。(如图)
正确解答
25×(4-3)×(4+3)
=25×7
=175(人)
答:六年级有175人去旅游。
例5 聪聪和笑笑共收集邮票171枚。已知聪聪收集邮票数的和笑笑收集邮票数的相等,求聪聪和笑笑分别收集了多少枚邮票。
方法指导
此题中聪聪收集邮票数的和笑笑收集邮票数的相等,说明每份数相等,以此可求出总份数。用聪聪和笑笑收集的总邮票数除以总份数可求出每份邮票数量,用每份邮票数量分别乘聪聪和笑笑的份数,就能分别得出聪聪和笑笑收集的邮票数量。(如图)
正确解答
聪聪:
笑笑:
答:聪聪收集了76枚邮票,笑笑收集了95枚邮票。
方法点二 用面积图解决实际问题
例6 鸡兔同笼,头共有30个,脚共有72只,鸡和兔各有多少只?
方法指导
解决此类问题可用长方形面积图法:用长表示鸡和兔共有的只数,用宽表示每只鸡和每只兔的脚数。则长方形B的面积表示兔的总脚数,长方形C的面积表示鸡的总脚数,长方形A的面积是把鸡看成兔后,增加的脚数。
观察上图发现,把鸡看成兔,每只增加2只脚,一共会增加30×4-72=48(只)脚,48只脚里有多少个2只脚,实际就有多少只鸡。
正确解答
鸡的只数:
(30×4-72)÷(4-2)
=(120-72)÷2
=48÷2
=24(只)
兔的只数:30-24=6(只)
答:鸡有24只,兔有6只。
例7 计算:
方法指导
本题相邻的两个数中,后一个数是前一个数的,每一次都减去前面结果的一半,剩余的和减去的数一样多,以长方形的面积为单位“1”画出示意图。
正确解答
例8 计算:1.2×2.3
方法指导
可以把这个乘法算式中的两个数看作长方形的长和宽,用画面积图的方法理解算理,即把两个乘数的整数部分和小数部分分开计算。把1.2分成1和0.2,把2.3分成2和0.3,这样就把大长方形的面积分成四个小长方形面积的和。
正确解答
2×1=2 2×0.2=0.4
0.3×0.2=0.06 1×0.3=0.3
1.2×2.3
=2+0.4+0.06+0.3
=2.76
方法点三 用简易图解决实际问题
例9 五年级学生进行体操表演,第一行站2人,后面一行比前一行多1人,最后一行站5人,问五年级参加表演的共有多少人。
方法指导
此类问题属于等差数列问题,关键要找到第一行与最后一行的人数,还需要知道一共有几行。根据“后面一行比前一行多1人”本题可以用一个梯形来表示,如图(1)所示。
观察上图,两个图一可以拼成一个平行四边形,如图二所示。平行四边形的底是(2+5),高是4,求出平行四边形的面积后再除以2就得到五年级参加表演的人数。
正确解答
(2+5)×4÷2
=7×4÷2
=28÷2
=14(人)
答:五年级参加表演的共有14人。
例10 一列火车以3000米/分的速度通过一条455米长的隧道,从车头驶入隧道开始到车尾离开隧道,共用了12秒,火车长多少米?
方法指导
结合示意图分析火车过隧道的时间、车速和火车行驶的路程三个量之间的关系。
观察上图可以发现,火车12秒行驶的路程=隧道长+车身长,用火车12秒行驶的路程减去隧道长,就求出火车的车身长。
正确解答
12÷60=0.2(分)
车长:3000×0.2-455=145(米)
答:火车长145米。
例11 鸡兔同笼,兔比鸡多3只,共有24只脚,问鸡、兔各有多少只。
方法指导
将鸡、兔分成两部分,一部分是3只兔,另一部分是鸡和兔只数相同的部分,即下图中的左半部分。
兔比鸡多3只,共多出3×4=12(只)脚,用总脚数24减去多出的12只脚,剩下的是只数同样多的兔与鸡共有的脚数。把上图中左面的鸡、兔看成一种6只脚的动物,剩余脚数(24-3×4)里有多少个6,就有多少只鸡,用鸡的只数加上3就是兔的只数。
正确解答
鸡的只数:
(24-3×4)÷(2+4)
=12÷6
=2(只)
兔的只数:2+3=5(只)
答:鸡有2只,兔有5只。
例12 在一个周长是120分米的圆形花坛四周栽花,每隔6分米栽一棵鸡冠花,每两棵鸡冠花之间均匀栽两棵菊花,鸡冠花和菊花一共需要多少棵?
方法指导
根据示意图分析花坛周长、相邻两棵鸡冠花的间隔长和鸡冠花的棵数之间的关系。
观察上图发现:鸡冠花的棵数=花坛的周长÷相邻两棵花的间隔长,用花坛周长120分米除以相邻两棵花的间隔6分米,就得到鸡冠花的棵数,鸡冠花的棵数乘2就得到菊花的棵数,把两种花的数量加在一起,就求出所求问题。
正确解答
(120÷6)+(120÷6)×2
=20+20×2
=20+40
=60(棵)
答:鸡冠花和菊花一共需要60棵。
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