将军饮马的基本模型以及变形。
给大家提供一个几何模型的手册，忘记模型或不理解模型的时候，可以随时来查看。
主要分为以下几方面：认识模型，确定模型，模型原理，结论，应用(抽图训练)。
01 认识模型
让我们先来了解“将军饮马”这个故事。
古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。
有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法。问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作”将军饮马”问题。
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中也隐含着这种数学问题。
如图所示，将军从A点出发，走到河边饮马后再到B点，怎样走才能使总的路程最短？即在直线L(河流)上找一点P，使PA+PB的值最小。
02 确定模型
基本将军饮马的条件：固定的直线L，直线外两个定点A与B，直线L上的动点P，求PA+PB的最小值。另外还会有许多的变形，下面列举出常见的一些模型。
模型一：PA+PB最小
点A与点B在直线同侧：作点A关于直线的对称点A′，连接A′B与L的交点即为点P。
点A与点B在直线异侧：连接AB与L的交点即为点P。
模型二：|PA-PB|最小
作AB的中垂线与直线L的交点即为点P。|PA-PB|的最小值是0。
模型三：|PA-PB|最大
点A与点B在直线同侧：连接AB与L的交点即为点P。|PA-PB|最大值是AB。
点A与点B在直线异侧：作点B关于直线的对称点B′，连接AB′与L的交点即为点P。|PA-PB|最大值是AB′。
模型四：AP+PQ+QB最小(PQ是直线上定长动线段)
在直线L上找两点P，Q，P在Q左侧，且PQ的距离是定值，使AP+PQ+QB最小。
过点A做AA′//L且AA′=PQ(定值)，作点B关于L的对称点B′，连接A′B′与L的交点即为点Q，过点A做A′B′的平行线与L的交点即为点P。
※由于A，B是定点，所以AB距离是固定的，当题目是求四边形APQB的周长最小值时，也可以用同样方法。
模型五：修桥问题 AP+PQ+QB最小
点A与点B是定点，直线a//直线b，在直线a上找一点P，过点P作直线b的垂线交于点Q，使AP+PQ+QB最短。
过点A作直线a的垂线，交a于点C，交b于点D，在AD上截取AE=CD，连接EB与b的交点即是点Q。过点Q作a的垂线，与a的交点即是点P。
模型六：周长最短
三角形：点P是∠MON内部一点，在OM上找一点A，在ON上找一点B，使△PAB周长最小。
作点P关于OM，ON的对称点P1，P2，连接P1P2，与OM的交点即是点A，与ON的交点即是点B。
四边形：点P，点Q是∠MON内部定点，在OM上找一点A，在ON上找一点B，使四边形PABQ周长最小。
作点P关于OM的对称点P′，作点Q关于ON的对称点Q′，连接P′Q′，与OM的交点即是点A，与ON的交点即是点B。
模型七：线段和最小值(垂线段最短)
点P是∠MON内部一点，在OM上找一点A，在ON上找一点B，使PA+AB最小。
作点P关于OM的对称点P′，过点P′作ON的垂线与OM的交点即是点A，与ON的交点即是点B。
模型八：坐标系里的应用
可以参考之前的文章：
坐标系中的将军饮马，如何求点关于直线的对称点
坐标系中将军饮马，点关于直线对称点 练习题
03 模型原理
将军饮马的基本原理比较简单，主要是以下几点
①两点间线段最短
②三角形两边之和大于第三边
③垂线段最短(主要应用在线段和最值问题中)
例如上图，过点A作关于直线L的对称点A′，然后连接A′B交直线于点P，那么PA+PB最小。
简证：设Q是直线L上P以外任意一点，则在△BA′Q中，有A′Q+BQ>A′B(三角形两边之和大于第三边)。
由于PA′=PA，也可以理解为点B与点A′间线段最短。
04 结论
掌握上述的基本结论后，对于一些升级的将军饮马问题，都可以通过翻折运动(作对称点)的相关性质来转化线段，然后利用上述的基本原理来解决。
05 抽图训练
例1，如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD上，且DE=1，点P是AC上一个动点，求PD+PE的最小值。
确认模型：定点D，定点E，AC上动点P，求PD+PE的最小值。
标准的将军饮马(两定点在直线同侧)
参照下图，作点E关于AC的对称点E′，连接DE′与AC的交点即是点P，DE′即是所求。参考答案：5。
例2，如图，等腰直角三角形ABC，AC=BC=4，∠BCD=15°，P为射线CD上动点，求|PA-PB|的最大值。
确认模型：定点A，定点B，CD上动点P，求|PA-PB|的最大值。
属于模型三：直线异侧
参照下图，作点A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD的交点即是点P，A′B即是所求。参考答案：4。(导角易知△A′BC为等边三角形)
例3，如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5，点M和点N是射线OA和射线OB上的动点，若△MPN周长的最小值是5，求∠AOB的度数。
确认模型：动点M，动点N，∠AOB内动点P，△MPN周长的最小值。
符合模型六：三角形周长最短
参照下图，作点P关于OB的对称点C，关于OA的对称点D。连接CD与OA的交点即是点M，与OB的交点即是点N。
即CD=5，OC=OP=5，OD=OP=5。所以△COD是等边三角形，∠AOB=30°。
例4，如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=8，G是AB中点。E与F(在E右侧)是边BC上动点，且EF=3，求四边形DGEF边长的最小值。
确认模型：定点D，定点G，BC上动点E，动点F，EF定长，由于DG为定值，相当于求GE+EF+DF的最小值。
符合模型四
参照下图，作G关于BC的对称点H，在DA上截DP=EF。连接HP与BC的交点即是点E。
DG，EF为定值，利用勾股定理求出PH即可。
♡♡♡感谢大家的阅读♡♡♡