今天就来好好聊聊学数学的这三大误区:常识级——考得好=数学好;迷惑级——送分题怎么能做错;易入级——数独是培养学霸的利器,堪称“学霸制造机”。
常识级误区
考得好数学就好
学好数学是有方法的,但是,如果忽视了“什么是数学思维”,一味关注于学好数学的方法,即便数学考试成绩很好,还是有可能数学能力很差。
讲个吃披萨的故事:
去西餐店点了个12寸的披萨,服务生告知暂时做不了,问可不可以换成两个6寸的。
有人想的是6+6=12,一样嘛,同意换;
有人则果断拒绝,除非用4个6寸的才能换,理由是:1个直径是12的圆形,其面积等于4个直径是6的圆形面积。
去西餐店点了个12寸的披萨,服务生告知暂时做不了,问可不可以换成两个6寸的。
有人想的是6+6=12,一样嘛,同意换;
有人则果断拒绝,除非用4个6寸的才能换,理由是:1个直径是12的圆形,其面积等于4个直径是6的圆形面积。
6+6=12,计算完全正确,卷面分满分。可是,在这道生活应用题里,它被否决了。
这就好像学英语,尽管常常考试满分,但是生活中,遇到辞藻华丽或者古朴的童谣和诗歌,还有时政新闻或科普读物,我们常常因为文化隔膜、词汇量不够而读不懂,与人交流又常常因为词汇表达、双方口音和语速,无法正常交流。
数学考得好,顶多证明掌握加减乘除等数学运算知识,能识别数学语言符号、记得一些公式和原理,并能举一反三。
只有用得好,才能证明数学思维也不掉线。
那什么是数学思维呢?
如果把数学视为一种语言、一个工具,它所运用的语言符号、知识体系,还有那些公式、原理和规律,都是数学思维的外在体现。
抛开一切定义,数学思维更接近数学的本质,简化、抽象、推导则是这一思维用得最多、最底层思维的部分。这也是现在数学思维课之所以这么多、这么火的原因。
如果底层的数学思维被忽视,还会继续陷入第二个误区。
迷惑级误区
送分题怎么还错
这是两个真实故事:
爸爸问儿子算术:1+0=?
儿子响亮地回答:10!
妈妈考女儿代数:2X=20,X=?
女儿一脸认真地说:0。
爸爸问儿子算术:1+0=?
儿子响亮地回答:10!
妈妈考女儿代数:2X=20,X=?
女儿一脸认真地说:0。
前一个是刚接触加法的5岁孩子,后一个是刚接触代数的五年级学生,无论是10还是0,都是他们最真实的思考和回答。
得到这样的回答,很多大人会又好气又好笑。气的是,问题多简单呀,竟然还能错,数学的门都进不去。笑的是,刚刚接触新知识的孩子,原来有这么与众不同的脑回路。
很少有人去细想:这错误答案到底怎么来的呢?只有细想你才会发现,算术和代数用到的数学思维,确实是数学的入门思维,但比你以为的要复杂。
一、从数数到算术,抽象思维要闯两关
0、1、10,其实都是具体事物的指代,是用抽象数字符号,代表实际事物的数量。
从具体事物到数字,这是第一个层级的抽象思维。即便孩子比较小,也能比较容易理解和接受这种转换。
不过,1+0或1-0就比单纯的数字要难一点了。它并不意味着是1和0排在一起的10,而是一种算式。这种算式中引入了另一种抽象符号,用以表示数字之间的关系。
这些关系包括相同、相加减、相乘、相除、相比较等,使用加减乘除号、大于小于以及等于这些抽象符号。
从数字到关系,是第二层级的抽象思维。
二、代数并不比高阶基础运算高级
辅导小学高年级作业的普通爸妈,可能都曾这样觉得,“小学高年级为啥不教孩子代数,好多题不用代数大人也不会”。
似乎代数解题更简单、便捷。与之相比,基础算数繁琐、笨拙多了。有人分析认为,代数是用顺向思维,而算术用的逆向思维。
来看个简单的小学中高年级数学题:一个数的2倍减去5的差是3,求这个数。
代数计算的方法是,直接设这个数为x,列成算式2x-5=3,接下来,只需要一个解方程的过程:
2x-5=3
2x=3+5=8
X=8÷2=4
2x-5=3
2x=3+5=8
X=8÷2=4
基础运算的解答过程则是:这个数先乘以2,再减去5,然后等于3,那说明这个数乘以2,是3+5=8;一个数的2倍等于8,所以这个数就是8÷2=4。列成综合算式就是(3+5)÷2=4,所以这个数是4。
比较一下两种方式的过程,就可以发现:
代数计算中,综合算式表达的关系直接而清晰,不知道的数设成一个字母就可以,数字之间的关系,该乘就乘,该减就减,最终基于相等关系,变化两边的数字关系,解出答案。
基础运算则不然,综合算式表达的关系,都是和题目描述的关系相反:相减的关系要变成相加,相乘的关系换成相除,它一直是运用逆向推导思维,是高阶算术。
数学越往后学,比如鸡兔同笼这种多个未知数问题,代数和基础运算的这种差异,就更明显,所以代数就被引入了。
基础运算中的高阶算术,重点在于,训练有别于1-0、2+3这种简单顺向思维的逆向推导思维。代数引入一个指代未知数的抽象字母符号,则是抽象思维的进阶。
从具体到抽象,从顺向到逆向,是两种思维跨越。知道孩子要这么努力地做思维体操,你还觉得送分题出错不应该吗?
易入级误区
数独是培养学霸的利器
作为一款智力游戏,能和学霸这样连接,如果数独是一个人,肯定很开心。
如果要给数独写一份感谢信,这里面不能不提的,肯定要包括那些高考学霸、《最强大脑》之类的烧脑综艺。
▲图片中的男生叫胡宇轩,6岁就开始学习数独,10岁成为全国初赛冠军,12岁参加《最强大脑》,高中就被清华录取。他说:“玩数独不仅能享受思考的乐趣,体验到追求速度的刺激,完成题目时还能获得成就感。”更可贵的是他身上有很多成年人都不具备的成熟特质,认真、自信、沉稳、坚定。
但据此认为,数独可以立刻提高孩子的学习成绩,或者是让孩子成为学霸,逻辑是不严密的。数独游戏,确实有很多好处,比如:
1. 提升专注力和耐心。完成一份数独题,需要一段时间内全神贯注,以保证思维连贯。所以,玩数独游戏,也是注意力集中不分心的训练,比起舒尔特方格这种注意力训练,还要高级。
2. 培养逻辑推理能力。数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析共六个方面。数独作为纯逻辑游戏,对于培养孩子的逻辑推理能力,提升数学核心素养,从而促进学科学习,大有裨益。
3. 参加不同级别的数独赛事,能培养荣誉感和自信心。数独是风靡全球的逻辑推理游戏,是世界公认的锻炼智力和思维能力的绝佳方式,除了培养专注力、手眼协调能力、逻辑思维能力,还能激发潜能。
4. 性格塑造。在解题的过程中,必须全面考虑问题,三思而行。前期马虎,很可能导致后期无法继续推进。无论孩子是选择退回去寻找错误,还是全盘推翻重新开始,都会让孩子收获很棒的挫折体验。
5. 增加亲子互动。数独入门一般都需要家长指导,做不出卡壳也需要提示;等孩子掌握技巧,能独立完成,又可以亲子比赛;面对较难的题,可以亲子合作、分工解题。这一系列的操作,都是增进亲子感情,提升陪伴质量的好机会。
1. 提升专注力和耐心。完成一份数独题,需要一段时间内全神贯注,以保证思维连贯。所以,玩数独游戏,也是注意力集中不分心的训练,比起舒尔特方格这种注意力训练,还要高级。
2. 培养逻辑推理能力。数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析共六个方面。数独作为纯逻辑游戏,对于培养孩子的逻辑推理能力,提升数学核心素养,从而促进学科学习,大有裨益。
3. 参加不同级别的数独赛事,能培养荣誉感和自信心。数独是风靡全球的逻辑推理游戏,是世界公认的锻炼智力和思维能力的绝佳方式,除了培养专注力、手眼协调能力、逻辑思维能力,还能激发潜能。
4. 性格塑造。在解题的过程中,必须全面考虑问题,三思而行。前期马虎,很可能导致后期无法继续推进。无论孩子是选择退回去寻找错误,还是全盘推翻重新开始,都会让孩子收获很棒的挫折体验。
5. 增加亲子互动。数独入门一般都需要家长指导,做不出卡壳也需要提示;等孩子掌握技巧,能独立完成,又可以亲子比赛;面对较难的题,可以亲子合作、分工解题。这一系列的操作,都是增进亲子感情,提升陪伴质量的好机会。
但是所有这些,都不直接等同于培养数学思维,更不等于立刻能提高数学成绩。千万不要抱着急功近利的心态,巴不得孩子会玩数独就考满分、成学霸。
所以严格说,玩数独从长远来讲,有利于孩子学好数学、成人成才。这比单纯制造一个学霸,要更有价值。
而且,玩数独能培养数感,也不是说数独需要算数。相反,大多数数独都不需要计算,只需遵循答案唯一、每一行每一列都不重复两项基本原则,就可以上手玩。
说了半天,可能还有人要问,到底什么是数独。直接上图吧:
上图基本演示了一道数独完成的过程。也可以说,数独就是一个方格形的puzzle,一般是9x9的,里面预先填上了一些数字。你要做的就是把剩下的格子都填上1~9的数字,使得整个puzzle满足以下条件:
每一行(row)中的数字不重复
每一列(column)中的数字不重复
每一块(block,就是粗线画出来的3x3区域)中的数字不重复
数独有难易。严格说来,数独起步有点类似于找规律游戏,并且,从图形到数字、规律从AB AB到AAB AAB、ABB ABB、AABB AABB等等,也是从易到难。
初阶数独,也多从图形数独到数字数独。4×4图形数独,是很多孩子的入门款。
随难度增加,宫数会增多,目前通用数独是9×9,又叫“九宫格数独”。其演进过程,你可以理解为,一个“正方形棋盘”,从简单到难,棋盘由1个4格,增加为9个9格。
玩数独好处虽然不少,但是一定要注意避开这四个坑:
第一:不要猜!不要猜!不要猜!这一点非常重要,数独是纯逻辑游戏,只要是正规的数独题,即便难度再大,也是可以靠纯逻辑推理获得唯一解的!如果你发现孩子在玩数独的过程中在猜、在试错,一定要纠正。耐心的寻找数盘里的逻辑线索,严谨的推理,这个过程就是很好的思维和心性的锻炼。
第二:由浅入深!数独的门槛低,但是上限高。孩子玩时候,一定要从初级的入手,比如四宫格,逐步提升题目难度,让孩子在过关的过程中获得成功体验;每次玩的时间也不宜过长,避免因为枯燥厌倦,保持新鲜感。
第三:说出每一步的理由!这一点甚至比最后通关得到结果更重要,既然是纯逻辑游戏,每填一步都必定有理由,如果孩子不知道为什么,或者说不清为什么,家长应该引导孩子整理思路,清晰表达,这对孩子的逻辑思维习惯的形成和巩固很有好处。
第四:过程大于结果。即使没有最终解题,也能获得很好的锻炼。在专注解题的过程中,大脑一直沉浸在“因为,所以”“如果,那么”“只有、才可以”“一定”、“不一定”、“一定不会”等判断之中,每一步的成功推导,都能获得小小成就感的叠加,当思维遇到瓶颈或者觉得疲倦的时候,可以暂时放下,回头再继续。
对于学龄前的孩子,数独很容易有玩腻的可能。于是,数独就变化出