今年5月末，一位儿时因七巧板爱上破解谜题、进而创造谜题的芬兰人，解决了一个数学上的百年谜题。在他之前，有一位中国的折纸和解谜高手也曾为破解这道难题做出重要贡献。
撰文 | 嘉伟
似乎人类很喜欢拼图类的游戏。在不同的文明中，各式各样的拼图玩具被不同时代的人反复发明。根据著名的《阿基米德重写本》（Archimedes Palimpsest），阿基米德曾将一个正方形分解成14块，思考如何将碎片以不同的方式重新组合在一起，形成一个正方形。源自中国的七巧板，更是给世界各地的儿童带来无限乐趣的益智玩具。今年5月末，一位儿时因七巧板爱上破解谜题、进而创造谜题的芬兰人，解决了一个数学上的百年谜题。
阿基米德的14块碎片拼正方形难题Ostomachion。丨图源：Dissection puzzle - Wikipedia
剖分谜题
在19世纪后期，当报纸和杂志开始刊登各种智力趣题填充版面时，这些谜题的受欢迎程度大大提高。美国的益智谜题创作者萨姆·劳埃德（Sam Loyd）和英国的亨利·杜德尼（Henry Dudeney）是最受欢迎的出题人。从那时起，拼图和相关衍生谜题就被用于娱乐和数学教育。
劳埃德曾向公众发起智力挑战：一个木匠需要将一个主教冠形状（一个正方形切去1/4，即剔除一个等腰直角三角形后）的木板切割成几块（要求块数最小），才能经过再拼接，重组成一个小正方形？劳埃德后来给出了自己的答案，遗憾的是，他的构造并不正确。劳埃德认为分成适当的4小块，便已足够。
图中人手中拿着的那个东西就是所谓的主教冠mitre形状。|图源：Sam Loyd's Cyclopedia of Puzzles (jwstelly.org)
在数学上，将正多边形和其他简单的几何形状分解成若干块，然后重新拼成另一种形状，叫做平面面积剖分（Dissection）。剖分可以说是拼图游戏的专业升级版：玩家由借助已知的碎片完成拼图，升级到为了实现图形的重组，自行设计和切割出合适的碎片。
剖分后来成为马丁·加德纳（Martin Gardner）1961年11月在《科学美国人》上发表的“数学游戏专栏”的主题。他在专栏里再次向公众介绍了劳埃德的问题——“主教冠问题”（Miter-Dissection Puzzle）。虽然读者们踊跃参与，但没有人能想出4块的拼法，人们至少要把原图形分解成5块，才能把它们重新拼出一个正方形。
直到劳埃德过世百余年后的2024年5月27日，mathstodon社区一位名为Vesa Timonen的用户贴出了下图：
图源：vesatimonen.github.io
4块拼图
先解释一下图片里的内容。
最上面一层是劳埃德在1901年提出的问题：把左侧的图形剖分后，重新拼成右侧的图形（正方形）。
从上往下第二层是劳埃德自己给出的解答。从图里可以看到，他借助台阶错合的技巧，想要构造出正方形。但是，简单计算一下就知道无法得到正方形。
第三层则是历史上亨利·杜德尼给出的5块剖分的构造。当然，除了杜德尼之外，还有其他人也给出了自己的5块剖分构造，其中包括国内一位名为傅薇的折纸和解谜高手。甚至在Vesa Timonen后来开列的参考文献里，就包括傅薇发表在微信公众号上的一篇文章《折纸思路新解百年数学题》（也就是文末参考资料2，作者给出了新颖的5块解法）。
Timonen认为傅薇的这篇文章，是在他之前对这个问题梳理得最好的文献。虽然他看不懂中文，但是借助翻译软件读完了全文。感兴趣的朋友可以找来一读，其中还有很详细的计算，可以解释为何劳埃德的方法行不通。同时，由于一直找不到4块剖分，一段时间以来，人们倾向于认为，不存在4块的解法……
至于第四层，就是Timonen本人发现的4块剖分解法。
想出剖分方法是很困难的，但是验证已有的方法则非常简单。数学界在初步检验过后，就有人疑惑道：Vesa Timonen是谁啊？他又是怎么做到的？
双重身份
Vesa Timonen拥有双重身份，白天按部就班地上班，干的是令自己讨厌的嵌入式软件工程师，晚上则是才华横溢的智力玩具谜题设计师。尽管他在数学圈子里毫无名气，但Timonen是芬兰最杰出的益智玩具设计师之一，也是为数不多的拼图设计师之一。甚至在国内的智力玩具（如巧环、鲁班锁这种）爱好者圈子里，也有很高的知名度。
工作中的Vesa Timonen丨图源：https://pulmallinentapaus.blogspot.com/
他从小就对魔术感兴趣，但是随着年龄增长，他更愿意去破解魔术。后来，他的叔叔教他玩七巧板，他们开始一个接一个地解决七巧板的难题。等成年后，他开始自己设计谜题。他的许多作品都被Hanayama Cast系列收录。Hanayama是一家对于谜题爱好者来说非常有影响力的日本玩具公司。
Timonen认为，任何人都可以通过不断尝试和分析失败来创造出独特的谜题。他还强调，失败是创作过程中的一部分，每次失败都会带来新的启示和灵感。
智力玩具设计师的笔记本上全是几何图形和数学计算丨图源：https://pulmallinentapaus.blogspot.com/
这一次，Timonen编写了一个软件，希望能借助现代计算机的算力系统地解决各种剖分问题。他选中的第一个问题就是主教冠问题，然后十分顺利地找到了答案。实际上，如果滑动边界，可以构造出无限多个4块剖分解法。
示意图（直观看起来图形可能边长不等，但实际上误差很小） 丨图源：THE MITRE DISSECTION PUZZLE (vesatimonen.github.io)
韩国延世大学的数学博士Jin-Hoo Ahn为Timonen的解法提供了一个无文字证明，大家可以欣赏一下。
图源：THE MITRE DISSECTION PUZZLE (vesatimonen.github.io)
稍带一提，Jin-Hoo Ahn也是谜题爱好者，还会制造机关盒一类的智力玩具。或许就是因此和