投针明明是一个随机事件，为什么结果能与 有联系呢？
我们首先考虑针落在画有平行直线的纸上的位置由哪些变量决定。
无论针有没有落在平行线上，有两个变量是我们需要特别注意的：
针的中点到最近的平行线的距离 针与平行线的夹角
由图可知，当针处于不同的位置时，这两个变量是不尽相同的，换句话说，这两个变量唯一确定了针的位置。
再来看看 与 的范围。
由于我们对 的定义是：针的中点到最近的平行线的距离，
因此，对于间距为 的平行线， 的大小不会超过 ，因此有
对于夹角 ，我们认为是可以取到钝角的，
因此有
综合上面两个变量的范围，我们可以作出平面直角坐标系，横轴是 ，纵轴是 ，得到如下蓝色区域
熟悉概率论的同学可能已经知道了，这实际上就是一组二维连续型随机变量，这个蓝色区域内的任意一点（，）都唯一对应了一种针掉落的情况。
现在的问题是，当针掉落在平行线上时，点（，）应满足什么样的条件？
我们把针看成是线段 ，取中点 ，过点 作平行线 ，再过点 作 ，由三角函数的知识可知：
注意到上图是针与平行线相交的情况，可以发现相交时，总有
即
相应地，当针不与平行线相交时，如下图所示：
这时有
这个不等式组与坐标轴围成的区域如下图所示：
假设矩形区域的面积是 ，上面不规则区域的面积是 ，现在只需要把 和 分别求出，根据几何概型
是很好求的，它就是矩形面积，即有 需要一些定积分的知识因此，针落到平行线上的概率是 ，根据大数定律可知，当投针的次数越来越多时，针与平行线相交的频率 会越来越接近于 ，因此有
3 一种更为直观的解释
上面的证明方法涉及到了很多数学知识与概念，也许你仍然会很疑惑：结论中的 是怎么神不知鬼不觉地出现的？是否还有更为直观的解释呢？
现在让我们来考虑任意长度与形状的铁丝，如下图所示，把这样弯曲的铁丝扔在布满平行线的纸上，
我们可以得到一个有趣的结论：弯曲的铁丝与平行线的平均交点数量只与铁丝本身的长度有关，即铁丝越长，平均交点数量也越大，两者成正比例关系。
为什么呢？我们可以把这根铁丝看作是很多条短小的直线段组成的，那么在大量投铁丝的实验后（比如 1 万次实验），铁丝与平行线相交的总次数就等于所有小线段在 1 万次实验中与平行线相交次数的总和，而每条小线段的形状都可以看作是相同的，经过大量实验后，它们的落点最终会均匀分布在整张纸上（尽管它们原来是首尾相接的）。因此，在这 1 万次实验中，每条小线段各自与平行线的相交总次数都大致相等。铁丝越长，铁丝所含的小线段就越多，铁丝与平行线的总交点数就会越多。
所以由上述分析可知，平均每次实验中铁丝与平行线交点数必然与铁丝的长度成正比。我们假设铁丝的长度是 ，铁丝与平行线的平均交点数是 （也可以称作是针与平行线交点的期望），则有
其中 是一个常数。
这个常数是可以求出的，接下来就是最为神奇的一步：假设平行线间距为 1，把一根长度为 的铁丝弯成一个圆，易知其直径就是 1，与平行线的间距相同。想想看把这个圆环扔到纸上后，会出现什么情况？
可以看到，无论是相切的特殊情况还是一般情况，圆环与这组平行线总会有两个交点，这就是说 的值始终为 2，即有
因此
的值确定了，我们就可以知道任意长度的铁丝（针）与平行线的平均交点个数：
平均交点个数是 ，意即针与平行线交点的期望是 ，这与前面提到的“针落到平行线上的概率是 ”的说法是等价的，通过这个方法我们也巧妙地证明了蒲丰投针问题。
4 小结
无论在自然科学还是社会科学中，发生的现象都是多种多样的，概率论研究的对象就是在自然界或是社会中发生的随机现象。
人类在长期的实践与研究中发现某些随机现象在大量重复试验或观察下，它的结果会呈现出某种规律性。比如