资源简介
(共55张PPT)第七章§7.10立体几何中的动态、轨迹问题“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型,它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素,给静态的立体几何题赋予了活力,题型更新颖.同时,由于“动态”的存在,也使立体几何题更趋多元化,将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁,使得它们之间灵活转化.重点解读题型一平行、垂直中的动态轨迹问题例1如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,N分别是CC1,C1D1,DD1,CD,BC的中点,M在四边形EFGH边上及其内部运动,若MN∥平面A1BD,则点M轨迹的长度是√连接HN,GN(图略),∵在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,N分别是CC1,C1D1,DD1,CD,BC的中点,则GH∥BA1,HN∥BD,又GH 平面A1BD,BA1 平面A1BD,∴GH∥平面A1BD,同理可证得NH∥平面A1BD,又GH∩HN=H,GH,HN 平面GHN,∴平面A1BD∥平面GHN,又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动,MN∥平面A1BD,则点M在线段GH上运动,即满足条件,动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理,结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹,有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.跟踪训练1正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在正四棱锥表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为√如图,设AC,BD交于O,连接SO,由正四棱锥的性质可得SO⊥平面ABCD,因为AC 平面ABCD,故SO⊥AC.又BD⊥AC,SO∩BD=O,SO,BD 平面SBD,故AC⊥平面SBD.由题意,PE⊥AC则动点P的轨迹为过E且垂直AC的平面与正四棱锥S-ABCD的交线,即平面EFG,则AC⊥平面EFG.由线面垂直的性质可得平面SBD∥平面EFG,又由面面平行的性质可得EG∥SB,GF∥SD,EF∥BD,又E是边BC的中点,故EG,GF,EF分别为△SBC,△SDC,△BCD的中位线.例2已知长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积为5π,AA1=2,点P在四边形A1ACC1内,且直线BP与平面A1ACC1所成的角为 ,则长方体的体积最大时,动点P的轨迹长为题型二距离、角度有关的动态轨迹问题√因为长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积为5π,设外接球的半径为R,如图,设AC,BD相交于点O,因为BO⊥AC,BO⊥AA1,AC∩AA1=A,AC,AA1 平面A1ACC1,距离、角度有关的轨迹问题(1)距离:可转化为在一个平面内的距离关系,借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹.(2)角度:直线与面成定角,可能是圆锥侧面;直线与定直线成等角,可能是圆锥侧面.设底面等腰直角三角形ABC的直角边的边长为x(x>0),又∵顶点P到底面ABC的距离为4,∴顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周(球心在底面ABC和截面圆之间)且球心O到该截面圆的距离d2=1,例3在矩形ABCD中,E是AB的中点,AD=1,AB=2,将△ADE沿DE折起得到△A′DE,设A′C的中点为M,若将△ADE沿DE翻折90°,则在此过程中动点M形成的轨迹长度为______.题型三翻折有关的动态轨迹问题如图,设AC的中点为M0,△ADE沿DE翻折90°,此时平面A′DE⊥平面ABCD,取CD中点P,CE中点Q,PQ中点N,连接PQ,MP,MQ,MN,M0P,M0Q,M0N.又MP∥A′D,MP 平面A′DE,A′D 平面A′DE,∴MP∥平面A′DE,同理MQ∥平面A′DE,又∵MP∩MQ=M,∴平面MPQ∥平面A′DE,又平面A′DE⊥平面ABCD,故平面MPQ⊥平面ABCD,又平面MPQ∩平面ABCD=PQ,MN⊥PQ,故MN⊥平面ABCD,又M0N 平面ABCD,∴MN⊥M0N,翻折有关的轨迹问题(1)翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹.(2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹.(3)可以利用空间坐标运算求轨迹.跟踪训练3(2024·连云港模拟)在矩形ABCD中,AB=,AD=1,点E在CD上,现将△AED沿AE折起,使平面AED⊥平面ABC,当E从D运动到C时,求点D在平面ABC上的射影K的轨迹长度为√由题意,将△AED沿AE折起,使平面AED⊥平面ABC,在平面AED内过点D作DK⊥AE,垂足K为D在平面ABC上的射影,连接D′K,由翻折的特征知,则∠D′KA=90°,故K点的轨迹是以AD′为直径的圆上一段弧,如图当E与C重合时,∠D′AC=60°,取O为AD′的中点,得到△OAK是正三角形.课时精练12345678910一、单项选择题1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,Q是正方形B1BCC1内的动点,A1Q⊥BC1,则Q点的轨迹是A.点B1 B.线段B1CC.线段B1C1 D.平面B1BCC1√12345678910如图,连接A1C,因为BC1⊥A1Q,BC1⊥A1B1,A1Q∩A1B1=A1,A1Q,A1B1 平面A1B1Q,所以BC1⊥平面A1B1Q,又B1Q 平面A1B1Q,所以BC1⊥B1Q,又BC1⊥B1C,所以点Q在线段B1C上.123456789102.(2023·佛山模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P为正方形A1B1C1D1内的动点,满足直线BP与下底面ABCD所成角为60°的点P的轨迹长度为√直线BP与下底面ABCD所成的角等于直线BP与上底面A1B1C1D1所成的角,连接B1P,如图,因为BB1⊥平面A1B1C1D1,PB1 平面A1B1C1D1,所以BB1⊥PB1,故∠BPB1为直线BP与上底面A1B1C1D1所成的角,则∠BPB1=60°,123456789103.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,N为侧面BCC1B1上的一点,且MN∥平面ABC1,若点N的轨迹长度为2,则A.AC1=4B.BC1=4C.AB1=6D.B1C=612345678910√如图,取B1C1的中点D,BB1的中点E,连接MD,DE,ME,由MD∥A1B1∥AB,DE∥BC1,又MD 平面ABC1,AB 平面ABC1,所以MD∥平面ABC1,同理可得DE∥平面ABC1,又MD∩DE=D,MD,DE 平面MDE,所以平面MDE∥平面ABC1,又MN∥平面ABC1,故点N的轨迹为线段DE,123456789104.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,侧棱与底面垂直,点P是侧棱DD1上的点,且DP=2PD1,AA1=3,AB=1.若点Q在侧面BCC1B1(包括其边界)上运动,且总保持AQ⊥BP,则动点Q的轨迹长度为√12345678910如图,在侧棱AA1上取一点R,使得AR=2RA1,连接PR,BR,过点A作AN⊥BR交BR于点M,交BB1于点N,连接AC,CN,BD,由PR∥AD,可知PR⊥AN,BR,PR 平面BPR,BR∩PR=R,从而AN⊥平面BPR,BP 平面BPR,所以BP⊥AN,又由BP在平面ABCD内的射影BD⊥AC,所以BP⊥AC,AN,AC 平面ACN,AN∩AC=A,1234567891012345678910知BP⊥平面ACN,CN 平面ACN,所以BP⊥CN,所以动点Q的轨迹为线段CN,在Rt△ABN,Rt△RAB中,∠BAN=∠ARB,所以Rt△ABN∽Rt△RAB,5.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱AD,B1C1的中点.若点P为侧面正方形ADD1A1内(含边界)动点,且B1P∥平面BEF,则点P的轨迹长度为12345678910√12345678910取A1D1的中点M,连接AM,B1M,AB1,EM,FM,如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD∥B1C1且AD=B1C1,因为E,F分别是棱AD,B1C1的中点,则AE∥B1F且AE=B1F,所以四边形AB1FE为平行四边形,则AB1∥EF,因为AB1 平面BEF,EF 平面BEF,所以AB1∥平面BEF,同理可证AM∥平面BEF,因为AB1∩AM=A,AB1,AM 平面AB1M,所以平面AB1M∥平面BEF,因为AM 平面AA1D1D,若P∈AM,则B1P 平面AB1M,所以B1P∥平面BEF,所以点P在侧面AA1D1D内的轨迹为线段AM,123456789106.已知菱形ABCD边长为2,∠ABC=60°,沿对角线AC折叠成三棱锥B′-ACD,使得二面角B′-AC-D为60°,设E为B′C的中点,F为三棱锥B′-ACD表面上动点,且总满足AC⊥EF,则点F轨迹的长度为12345678910√12345678910连接AC,BD交于点O,连接OB′,四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,所以AC⊥BD,OB′⊥AC,△ABC,△ACD,△AB′C均为正三角形,所以∠B′OD为二面角B′-AC-D的平面角,于是∠B′OD=60°,又因为OB′=OD,所以△B′OD为正三角形,取OC的中点P,取CD的中点Q,连接EP,EQ,PQ,所以PQ∥OD,EP∥OB′,所以AC⊥EP,AC⊥PQ,EP∩PQ=P,所以AC⊥平面EPQ,所以在三棱锥B′-ACD表面上,满足AC⊥EF的点F轨迹为△EPQ,1234567891012345678910二、多项选择题7.(2024·济南模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的各顶点均在表面积为12π的球面上,P为该球面上一动点,则A.存在无数个点P,使得PA∥平面A1B1C1D1B.当平面PAA1⊥平面CB1D1时,点P的轨迹长度为2πC.当PA∥平面A1B1CD时,点P的轨迹长度为2πD.存在无数个点P,使得平面PAD⊥平面PBC√√√12345678910因为该球的表面积为4πr2=12π,且正方体的棱长满足(2r)2=3a2=12,故棱长a=2,选项A,由题意可知平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且PA∥平面A1B1C1D1,故PA 平面ABCD,则P的轨迹为正方形ABCD的外接圆,故有无数个点P满足,故A正确;选项B,易知AC1⊥平面CB1D1,且平面PAA1⊥平面CB1D1,PA 平面PAA1,故P的轨迹为矩形AA1C1C的外接圆,选项C,因为PA∥平面A1B1CD,设过PA且与平面A1B1CD平行的平面为α,1234567891012345678910选项D,若平面PAD⊥平面PBC,则点P在以四边形ABCD为轴截面的某个圆柱面上,该圆柱面与球面交线为曲线,故有无数个点P满足,故D正确.8.(2023·长沙模拟)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为正方体表面上的动点,N为线段AC1上的动点,若直线AM与AB的夹角为 ,则下列说法正确的是A.点M的轨迹确定的图形是平面图形√√√1234567891012345678910如图,建立空间直角坐标系,则D(0,1,0),C1(1,1,1),当点M在底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D(不包含边界)上时,点M到直线AB的距离大于AB的长度,当点M在侧面AA1B1B和底面ABCD上时,可知线段AB1,AC满足题意;当点M在侧面BCC1B1上时,由AB⊥BM,可知BM=AB,此时弧B1C为所求.∴M点的轨迹为线段AC,AB1,弧B1C,显然线段AC,AB1,弧B1C不共面,∴A错误;对于C,若M在线段AC上,则C1M的最小值为1,同理,若M在线段AB1上,则C1M的最小值也为1,12345678910对于D,M(1,y,z)(0≤y≤1,0≤z≤1),且y2+z2=1,由题意设N(λ,λ,λ),λ∈[0,1],当且仅当y=z=λ,且y2+z2=1,12345678910三、填空题9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M为棱B1C1的中点,N为底面正方形ABCD上一动点,且直线MN与底面ABCD所成的角为,则动点N的轨迹长度为________.12345678910如图所示,取BC中点G,连接MG,NG,由正方体的特征可知,MG⊥底面ABCD,故MN与底面ABCD的夹角即为∠MNG,12345678910又N在底面正方形ABCD上,即点N的轨迹为图示中的圆弧,123456789101234567891010.如图所示,在平行四边形ABCD中,E为AB中点,DE⊥AB,DC=8,DE=6.沿着DE将△ADE折起,使A到达点A′的位置,且平面A′DE⊥平面ADE.设P为△A′DE内的动点,若∠EPB=∠DPC,则点P的轨迹长度为______.建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,8,0),E(6,0,0),B(6,4,0),设P(x,0,z),12345678910∵∠EPB=∠DPC,∴cos∠EPB=cos∠DPC,整理化简得x2+z2-16x+48=0,1234567891012345678910§7.10立体几何中的动态、轨迹问题重点解读“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型,它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素,给静态的立体几何题赋予了活力,题型更新颖.同时,由于“动态”的存在,也使立体几何题更趋多元化,将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁,使得它们之间灵活转化.题型一平行、垂直中的动态轨迹问题例1 如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,N分别是CC1,C1D1,DD1,CD,BC的中点,M在四边形EFGH边上及其内部运动,若MN∥平面A1BD,则点M轨迹的长度是()A.a B.a C. D.答案D解析连接HN,GN(图略),∵在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,N分别是CC1,C1D1,DD1,CD,BC的中点,则GH∥BA1,HN∥BD,又GH 平面A1BD,BA1 平面A1BD,∴GH∥平面A1BD,同理可证得NH∥平面A1BD,又GH∩HN=H,GH,HN 平面GHN,∴平面A1BD∥平面GHN,又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动,MN∥平面A1BD,则点M在线段GH上运动,即满足条件,又GH=a,则点M轨迹的长度是.思维升华 动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理,结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹,有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.跟踪训练1 正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在正四棱锥表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为()A.+B.-C.4D.+1答案A解析如图,设AC,BD交于O,连接SO,由正四棱锥的性质可得SO⊥平面ABCD,因为AC 平面ABCD,故SO⊥AC.又BD⊥AC,SO∩BD=O,SO,BD 平面SBD,故AC⊥平面SBD.由题意,PE⊥AC则动点P的轨迹为过E且垂直AC的平面与正四棱锥S-ABCD的交线,即平面EFG,则AC⊥平面EFG.由线面垂直的性质可得平面SBD∥平面EFG,又由面面平行的性质可得EG∥SB,GF∥SD,EF∥BD,又E是边BC的中点,故EG,GF,EF分别为△SBC,△SDC,△BCD的中位线.由题意BD=2,SB=SD==,故EG+EF+GF=×(++2)=+.即动点P的轨迹的周长为+.题型二距离、角度有关的动态轨迹问题例2 已知长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积为5π,AA1=2,点P在四边形A1ACC1内,且直线BP与平面A1ACC1所成的角为,则长方体的体积最大时,动点P的轨迹长为()A.π B. C. D.答案C解析因为长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积为5π,设外接球的半径为R,所以4πR2=5π,解得R=或R=-(舍去),即外接球的直径为,设AB=a,BC=b,则=,可得a2+b2=1,所以V=2ab≤a2+b2=1,当且仅当a=b=时,等号成立.如图,设AC,BD相交于点O,因为BO⊥AC,BO⊥AA1,AC∩AA1=A,AC,AA1 平面A1ACC1,所以BO⊥平面A1ACC1,因为直线BP与平面A1ACC1所成的角为,所以∠BPO=,故OP=,则点P的轨迹是以O为圆心,半径r=的半圆弧,所以动点P的轨迹长为πr=.思维升华 距离、角度有关的轨迹问题(1)距离:可转化为在一个平面内的距离关系,借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹.(2)角度:直线与面成定角,可能是圆锥侧面;直线与定直线成等角,可能是圆锥侧面.跟踪训练2 已知三棱锥P-ABC的外接球O的半径为,△ABC为等腰直角三角形,若顶点P到底面ABC的距离为4,且三棱锥P-ABC的体积为,则满足上述条件的顶点P的轨迹长度是________.答案4π解析设底面等腰直角三角形ABC的直角边的边长为x(x>0),∵顶点P到底面ABC的距离为4且三棱锥P-ABC的体积为,∴×x2×4=,解得x=2,∴△ABC的外接圆半径为r1=××2=2,∴球心O到底面ABC的距离d1===3,又∵顶点P到底面ABC的距离为4,∴顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周(球心在底面ABC和截面圆之间)且球心O到该截面圆的距离d2=1,∵截面圆的半径r2===2,∴顶点P的轨迹长度是2πr2=2π×2=4π.题型三翻折有关的动态轨迹问题例3 在矩形ABCD中,E是AB的中点,AD=1,AB=2,将△ADE沿DE折起得到△A′DE,设A′C的中点为M,若将△ADE沿DE翻折90°,则在此过程中动点M形成的轨迹长度为________.答案解析如图,设AC的中点为M0,△ADE沿DE翻折90°,此时平面A′DE⊥平面ABCD,取CD中点P,CE中点Q,PQ中点N,连接PQ,MP,MQ,MN,M0P,M0Q,M0N.MP=M0P=AD=,MQ=M0Q=AE=,PQ=DE=,△MPQ和△M0PQ是等腰直角三角形,且在旋转过程中保持形状大小不变,故动点M的轨迹是以N为圆心,PQ为半径的一段圆弧,又MP∥A′D,MP 平面A′DE,A′D 平面A′DE,∴MP∥平面A′DE,同理MQ∥平面A′DE,又∵MP∩MQ=M,∴平面MPQ∥平面A′DE,又平面A′DE⊥平面ABCD,故平面MPQ⊥平面ABCD,又平面MPQ∩平面ABCD=PQ,MN⊥PQ,故MN⊥平面ABCD,又M0N 平面ABCD,∴MN⊥M0N,故动点M形成的轨迹长度为π·PQ=.思维升华 翻折有关的轨迹问题(1)翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹.(2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹.(3)可以利用空间坐标运算求轨迹.跟踪训练3 (2024·连云港模拟)在矩形ABCD中,AB=,AD=1,点E在CD上,现将△AED沿AE折起,使平面AED⊥平面ABC,当E从D运动到C时,求点D在平面ABC上的射影K的轨迹长度为()A. B. C. D.答案D解析由题意,将△AED沿AE折起,使平面AED⊥平面ABC,在平面AED内过点D作DK⊥AE,垂足K为D在平面ABC上的射影,连接D′K,由翻折的特征知,则∠D′KA=90°,故K点的轨迹是以AD′为直径的圆上一段弧,根据长方形知圆半径是,如图当E与C重合时,∠D′AC=60°,所以AK=,取O为AD′的中点,得到△OAK是正三角形.故∠KOA=,所以∠KOD′=,射影K的轨迹长度为×=.课时精练一、单项选择题1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,Q是正方形B1BCC1内的动点,A1Q⊥BC1,则Q点的轨迹是()A.点B1B.线段B1CC.线段B1C1D.平面B1BCC1答案B解析如图,连接A1C,因为BC1⊥A1Q,BC1⊥A1B1,A1Q∩A1B1=A1,A1Q,A1B1 平面A1B1Q,所以BC1⊥平面A1B1Q,又B1Q 平面A1B1Q,所以BC1⊥B1Q,又BC1⊥B1C,所以点Q在线段B1C上.2.(2023·佛山模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P为正方形A1B1C1D1内的动点,满足直线BP与下底面ABCD所成角为60°的点P的轨迹长度为()A. B. C. D.答案B解析直线BP与下底面ABCD所成的角等于直线BP与上底面A1B1C1D1所成的角,连接B1P,如图,因为BB1⊥平面A1B1C1D1,PB1 平面A1B1C1D1,所以BB1⊥PB1,故∠BPB1为直线BP与上底面A1B1C1D1所成的角,则∠BPB1=60°,因为BB1=1,所以PB1==,故点P的轨迹为以B1为圆心,为半径,位于平面A1B1C1D1内的圆,故轨迹长度为×2π×=.3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,N为侧面BCC1B1上的一点,且MN∥平面ABC1,若点N的轨迹长度为2,则()A.AC1=4 B.BC1=4C.AB1=6 D.B1C=6答案B解析如图,取B1C1的中点D,BB1的中点E,连接MD,DE,ME,由MD∥A1B1∥AB,DE∥BC1,又MD 平面ABC1,AB 平面ABC1,所以MD∥平面ABC1,同理可得DE∥平面ABC1,又MD∩DE=D,MD,DE 平面MDE,所以平面MDE∥平面ABC1,又MN∥平面ABC1,故点N的轨迹为线段DE,又由DE=BC1=2,可得BC1=4.4.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,侧棱与底面垂直,点P是侧棱DD1上的点,且DP=2PD1,AA1=3,AB=1.若点Q在侧面BCC1B1(包括其边界)上运动,且总保持AQ⊥BP,则动点Q的轨迹长度为()A. B. C. D.答案D解析如图,在侧棱AA1上取一点R,使得AR=2RA1,连接PR,BR,过点A作AN⊥BR交BR于点M,交BB1于点N,连接AC,CN,BD,由PR∥AD,可知PR⊥AN,BR,PR 平面BPR,BR∩PR=R,从而AN⊥平面BPR,BP 平面BPR,所以BP⊥AN,又由BP在平面ABCD内的射影BD⊥AC,所以BP⊥AC,AN,AC 平面ACN,AN∩AC=A,知BP⊥平面ACN,CN 平面ACN,所以BP⊥CN,所以动点Q的轨迹为线段CN,在Rt△ABN,Rt△RAB中,∠BAN=∠ARB,所以Rt△ABN∽Rt△RAB,则=,得BN=,易得CN===.5.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱AD,B1C1的中点.若点P为侧面正方形ADD1A1内(含边界)动点,且B1P∥平面BEF,则点P的轨迹长度为()A. B.1 C. D.答案C解析取A1D1的中点M,连接AM,B1M,AB1,EM,FM,如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD∥B1C1且AD=B1C1,因为E,F分别是棱AD,B1C1的中点,则AE∥B1F且AE=B1F,所以四边形AB1FE为平行四边形,则AB1∥EF,因为AB1 平面BEF,EF 平面BEF,所以AB1∥平面BEF,同理可证AM∥平面BEF,因为AB1∩AM=A,AB1,AM 平面AB1M,所以平面AB1M∥平面BEF,因为AM 平面AA1D1D,若P∈AM,则B1P 平面AB1M,所以B1P∥平面BEF,所以点P在侧面AA1D1D内的轨迹为线段AM,由勾股定理可得AM==.6.已知菱形ABCD边长为2,∠ABC=60°,沿对角线AC折叠成三棱锥B′-ACD,使得二面角B′-AC-D为60°,设E为B′C的中点,F为三棱锥B′-ACD表面上动点,且总满足AC⊥EF,则点F轨迹的长度为()A.2 B.3 C. D.答案D解析连接AC,BD交于点O,连接OB′,四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,所以AC⊥BD,OB′⊥AC,△ABC,△ACD,△AB′C均为正三角形,所以∠B′OD为二面角B′-AC-D的平面角,于是∠B′OD=60°,又因为OB′=OD,所以△B′OD为正三角形,所以B′D=OB′=OD=2×=,取OC的中点P,取CD的中点Q,连接EP,EQ,PQ,所以PQ∥OD,EP∥OB′,所以AC⊥EP,AC⊥PQ,EP∩PQ=P,所以AC⊥平面EPQ,所以在三棱锥B′-ACD表面上,满足AC⊥EF的点F轨迹为△EPQ,因为EP=OB′,PQ=OD,EQ=B′D,所以△EPQ的周长为3×=,所以点F轨迹的长度为.二、多项选择题7.(2024·济南模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的各顶点均在表面积为12π的球面上,P为该球面上一动点,则()A.存在无数个点P,使得PA∥平面A1B1C1D1B.当平面PAA1⊥平面CB1D1时,点P的轨迹长度为2πC.当PA∥平面A1B1CD时,点P的轨迹长度为2πD.存在无数个点P,使得平面PAD⊥平面PBC答案ACD解析因为该球的表面积为4πr2=12π,故半径r=,且正方体的棱长满足(2r)2=3a2=12,故棱长a=2,选项A,由题意可知平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且PA∥平面A1B1C1D1,故PA 平面ABCD,则P的轨迹为正方形ABCD的外接圆,故有无数个点P满足,故A正确;选项B,易知AC1⊥平面CB1D1,且平面PAA1⊥平面CB1D1,PA 平面PAA1,故P的轨迹为矩形AA1C1C的外接圆,其周长为2πr=2π,故B错误;选项C,因为PA∥平面A1B1CD,设过PA且与平面A1B1CD平行的平面为α,则P的轨迹为α与外接球的交线,其半径为=1,周长为2π,故C正确;选项D,若平面PAD⊥平面PBC,则点P在以四边形ABCD为轴截面的某个圆柱面上,该圆柱面与球面交线为曲线,故有无数个点P满足,故D正确.8.(2023·长沙模拟)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为正方体表面上的动点,N为线段AC1上的动点,若直线AM与AB的夹角为,则下列说法正确的是()A.点M的轨迹确定的图形是平面图形B.点M的轨迹长度为+2C.C1M的最小值为-1D.当点M在侧面BB1C1C上时,AN+MN的最小值为1答案BCD解析如图,建立空间直角坐标系,则D(0,1,0),C1(1,1,1),∵直线AM与AB的夹角为,当点M在侧面AA1D1D上时,AB⊥AM,不合题意;当点M在底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D(不包含边界)上时,点M到直线AB的距离大于AB的长度,此时,AM与AB的夹角大于;当点M在侧面AA1B1B和底面ABCD上时,可知线段AB1,AC满足题意;当点M在侧面BCC1B1上时,由AB⊥BM,可知BM=AB,此时弧B1C为所求.∴M点的轨迹为线段AC,AB1,弧B1C,显然线段AC,AB1,弧B1C不共面,∴A错误;对于B,点M的轨迹长度为+2,∴B正确;对于C,若M在线段AC上,则C1M的最小值为1,同理,若M在线段AB1上,则C1M的最小值也为1,若M在弧B1C上,则C1M的最小值为C1B-1=-1,∴C正确;对于D,M(1,y,z)(0≤y≤1,0≤z≤1),且y2+z2=1,由题意设N(λ,λ,λ),λ∈[0,1],则AN+MN=λ+≥λ+=λ+(1-λ)=1,当且仅当y=z=λ,且y2+z2=1,即y=z=λ=时,等号成立,∴D正确.三、填空题9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M为棱B1C1的中点,N为底面正方形ABCD上一动点,且直线MN与底面ABCD所成的角为,则动点N的轨迹长度为________.答案解析如图所示,取BC中点G,连接MG,NG,由正方体的特征可知,MG⊥底面ABCD,故MN与底面ABCD的夹角即为∠MNG,所以∠MNG=,则=tan NG=,故点N在以G为圆心,为半径的圆上,又N在底面正方形ABCD上,即点N的轨迹为图示中的圆弧,易知== ∠EGB= ∠EGF=π--=,所以动点N的轨迹长度为×=.10.如图所示,在平行四边形ABCD中,E为AB中点,DE⊥AB,DC=8,DE=6.沿着DE将△ADE折起,使A到达点A′的位置,且平面A′DE⊥平面ADE.设P为△A′DE内的动点,若∠EPB=∠DPC,则点P的轨迹长度为______.答案解析建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,8,0),E(6,0,0),B(6,4,0),设P(x,0,z),则=(-x,0,-z),=(-x,8,-z),=(6-x,0,-z),=(6-x,4,-z),∴cos∠EPB=cos〈,〉==,cos∠DPC=cos〈,〉==,∵∠EPB=∠DPC,∴cos∠EPB=cos∠DPC,∴=,整理化简得x2+z2-16x+48=0,即(x-8)2+z2=16,∴点P的轨迹为圆弧,所在圆交A′E于P1(6,0,2),交DE于P2(4,0,0),则||==4,∴所对应的圆心角α=,∴弧长l=αr=×4=,即点P的轨迹长度为.§7.10立体几何中的动态、轨迹问题重点解读“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型,它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素,给静态的立体几何题赋予了活力,题型更新颖.同时,由于“动态”的存在,也使立体几何题更趋多元化,将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁,使得它们之间灵活转化.题型一平行、垂直中的动态轨迹问题例1 如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,N分别是CC1,C1D1,DD1,CD,BC的中点,M在四边形EFGH边上及其内部运动,若MN∥平面A1BD,则点M轨迹的长度是()A.a B.a C. D.思维升华 动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理,结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹,有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.跟踪训练1 正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在正四棱锥表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为()A.+B.-C.4D.+1题型二距离、角度有关的动态轨迹问题例2 已知长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积为5π,AA1=2,点P在四边形A1ACC1内,且直线BP与平面A1ACC1所成的角为,则长方体的体积最大时,动点P的轨迹长为()A.π B. C. D.跟踪训练2 已知三棱锥P-ABC的外接球O的半径为,△ABC为等腰直角三角形,若顶点P到底面ABC的距离为4,且三棱锥P-ABC的体积为,则满足上述条件的顶点P的轨迹长度是________________.题型三翻折有关的动态轨迹问题例3 在矩形ABCD中,E是AB的中点,AD=1,AB=2,将△ADE沿DE折起得到△A′DE,设A′C的中点为M,若将△ADE沿DE翻折90°,则在此过程中动点M形成的轨迹长度为________________.跟踪训练3 (2024·连云港模拟)在矩形ABCD中,AB=,AD=1,点E在CD上,现将△AED沿AE折起,使平面AED⊥平面ABC,当E从D运动到C时,求点D在平面ABC上的射影K的轨迹长度为()A. B. C. D.一、单项选择题1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,Q是正方形B1BCC1内的动点,A1Q⊥BC1,则Q点的轨迹是()A.点B1B.线段B1CC.线段B1C1D.平面B1BCC12.(2023·佛山模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P为正方形A1B1C1D1内的动点,满足直线BP与下底面ABCD所成角为60°的点P的轨迹长度为()A. B. C. D.3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,N为侧面BCC1B1上的一点,且MN∥平面ABC1,若点N的轨迹长度为2,则()A.AC1=4 B.BC1=4C.AB1=6 D.B1C=64.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,侧棱与底面垂直,点P是侧棱DD1上的点,且DP=2PD1,AA1=3,AB=1.若点Q在侧面BCC1B1(包括其边界)上运动,且总保持AQ⊥BP,则动点Q的轨迹长度为()A. B. C. D.5.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱AD,B1C1的中点.若点P为侧面正方形ADD1A1内(含边界)动点,且B1P∥平面BEF,则点P的轨迹长度为()A. B.1 C. D.6.已知菱形ABCD边长为2,∠ABC=60°,沿对角线AC折叠成三棱锥B′-ACD,使得二面角B′-AC-D为60°,设E为B′C的中点,F为三棱锥B′-ACD表面上动点,且总满足AC⊥EF,则点F轨迹的长度为()A.2 B.3 C. D.二、多项选择题7.(2024·济南模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的各顶点均在表面积为12π的球面上,P为该球面上一动点,则()A.存在无数个点P,使得PA∥平面A1B1C1D1B.当平面PAA1⊥平面CB1D1时,点P的轨迹长度为2πC.当PA∥平面A1B1CD时,点P的轨迹长度为2πD.存在无数个点P,使得平面PAD⊥平面PBC8.(2023·长沙模拟)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为正方体表面上的动点,N为线段AC1上的动点,若直线AM与AB的夹角为,则下列说法正确的是()A.点M的轨迹确定的图形是平面图形B.点M的轨迹长度为+2C.C1M的最小值为-1D.当点M在侧面BB1C1C上时,AN+MN的最小值为1三、填空题9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M为棱B1C1的中点,N为底面正方形ABCD上一动点,且直线MN与底面ABCD所成的角为,则动点N的轨迹长度为________.10.如图所示,在平行四边形ABCD中,E为AB中点,DE⊥AB,DC=8,DE=6.沿着DE将△ADE折起,使A到达点A′的位置,且平面A′DE⊥平面ADE.设P为△A′DE内的动点,若∠EPB=∠DPC,则点P的轨迹长度为______.§7.10立体几何中的动态、轨迹问题1.B2.B3.B4.D[如图,在侧棱AA1上取一点R,使得AR=2RA1,连接PR,BR,过点A作AN⊥BR交BR于点M,交BB1于点N,连接AC,CN,BD,由PR∥AD,可知PR⊥AN,BR,PR 平面BPR,BR∩PR=R,从而AN⊥平面BPR,BP 平面BPR,所以BP⊥AN,又由BP在平面ABCD内的射影BD⊥AC,所以BP⊥AC,AN,AC 平面ACN,AN∩AC=A,知BP⊥平面ACN,CN 平面ACN,所以BP⊥CN,所以动点Q的轨迹为线段CN,在Rt△ABN,Rt△RAB中,∠BAN=∠ARB,所以Rt△ABN∽Rt△RAB,则=,得BN=,易得CN===.]5.C[取A1D1的中点M,连接AM,B1M,AB1,EM,FM,如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD∥B1C1且AD=B1C1,因为E,F分别是棱AD,B1C1的中点,则AE∥B1F且AE=B1F,所以四边形AB1FE为平行四边形,则AB1∥EF,因为AB1 平面BEF,EF 平面BEF,所以AB1∥平面BEF,同理可证AM∥平面BEF,因为AB1∩AM=A,AB1,AM 平面AB1M,所以平面AB1M∥平面BEF,因为AM 平面AA1D1D,若P∈AM,则B1P 平面AB1M,所以B1P∥平面BEF,所以点P在侧面AA1D1D内的轨迹为线段AM,由勾股定理可得AM==.]6.D[连接AC,BD交于点O,连接OB′,四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,所以AC⊥BD,OB′⊥AC,△ABC,△ACD,△AB′C均为正三角形,所以∠B′OD为二面角B′-AC-D的平面角,于是∠B′OD=60°,又因为OB′=OD,所以△B′OD为正三角形,所以B′D=OB′=OD=2×=,取OC的中点P,取CD的中点Q,连接EP,EQ,PQ,所以PQ∥OD,EP∥OB′,所以AC⊥EP,AC⊥PQ,EP∩PQ=P,所以AC⊥平面EPQ,所以在三棱锥B′-ACD表面上,满足AC⊥EF的点F轨迹为△EPQ,因为EP=OB′,PQ=OD,EQ=B′D,所以△EPQ的周长为3×=,所以点F轨迹的长度为.]7.ACD[因为该球的表面积为4πr2=12π,故半径r=,且正方体的棱长满足(2r)2=3a2=12,故棱长a=2,选项A,由题意可知平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且PA∥平面A1B1C1D1,故PA 平面ABCD,则P的轨迹为正方形ABCD的外接圆,故有无数个点P满足,故A正确;选项B,易知AC1⊥平面CB1D1,且平面PAA1⊥平面CB1D1,PA 平面PAA1,故P的轨迹为矩形AA1C1C的外接圆,其周长为2πr=2π,故B错误;选项C,因为PA∥平面A1B1CD,设过PA且与平面A1B1CD平行的平面为α,则P的轨迹为α与外接球的交线,其半径为=1,周长为2π,故C正确;选项D,若平面PAD⊥平面PBC,则点P在以四边形ABCD为轴截面的某个圆柱面上,该圆柱面与球面交线为曲线,故有无数个点P满足,故D正确.]8.BCD[如图,建立空间直角坐标系,则D(0,1,0),C1(1,1,1),∵直线AM与AB的夹角为,当点M在侧面AA1D1D上时,AB⊥AM,不合题意;当点M在底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D(不包含边界)上时,点M到直线AB的距离大于AB的长度,此时,AM与AB的夹角大于;当点M在侧面AA1B1B和底面ABCD上时,可知线段AB1,AC满足题意;当点M在侧面BCC1B1上时,由AB⊥BM,可知BM=AB,此时弧B1C为所求.∴M点的轨迹为线段AC,AB1,弧B1C,显然线段AC,AB1,弧B1C不共面,∴A错误;对于B,点M的轨迹长度为+2,∴B正确;对于C,若M在线段AC上,则C1M的最小值为1,同理,若M在线段AB1上,则C1M的最小值也为1,若M在弧B1C上,则C1M的最小值为C1B-1=-1,∴C正确;对于D,M(1,y,z)(0≤y≤1,0≤z≤1),且y2+z2=1,由题意设N(λ,λ,λ),λ∈[0,1],则AN+MN=λ+≥λ+=λ+(1-λ)=1,当且仅当y=z=λ,且y2+z2=1,即y=z=λ=时,等号成立,∴D正确.]9.解析如图所示,取BC中点G,连接MG,NG,由正方体的特征可知,MG⊥底面ABCD,故MN与底面ABCD的夹角即为∠MNG,所以∠MNG=,则=tan NG=,故点N在以G为圆心,为半径的圆上,又N在底面正方形ABCD上,即点N的轨迹为图示中的圆弧,易知== ∠EGB= ∠EGF=π--=,所以动点N的轨迹长度为×=.10.解析建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,8,0),E(6,0,0),B(6,4,0),设P(x,0,z),则=(-x,0,-z),=(-x,8,-z),=(6-x,0,-z),=(6-x,4,-z),∴cos∠EPB=cos〈,〉==,cos∠DPC=cos〈,〉==,∵∠EPB=∠DPC,∴cos∠EPB=cos∠DPC,∴=,整理化简得x2+z2-16x+48=0,即(x-8)2+z2=16,∴点P的轨迹为圆弧,所在圆交A′E于P1(6,0,2),交DE于P2(4,0,0),则||==4,∴所对应的圆心角α=,∴弧长l=αr=×4=,即点P的轨迹长度为.
展开