小学数学《一笔画》练习题（含答案）
什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.
我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.
判断图形能否一笔画的规律：
（1）能一笔画出的图形必须是连通的图形；
（2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点； （3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；
（4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．
（一） 一笔画以及多笔画
【例1】 观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.
(f)
(e)(d)
J
I
H G F E
D C B
A
J K I
H
G
F
E
D C
B A
分析：（a ）图：可以一笔画，因为只有两个奇点A 、B ；画法为A →头部→翅膀→尾部→翅膀→嘴. （b ）图：不能一笔画，因为此图不是连通图.
（c ）图：不能一笔画，因图中有四个奇点：A 、B 、C 、D.
（d ）图：可以一笔画，因为只有两个奇点；画法为：A →C →D →A →B →E →F →G →H →I →J →K →B. （e ）图：可以一笔画，因为没有奇点；画法可以是：A →B →C →D →E →F →G →H →I →J →B →D →F →H →J →A.
（f ）图：不能一笔画出，因为图中有八个奇点.
[注意]在上面能够一笔画出的图中，画法并不是惟一的.事实上，对于有两个奇点的图来说，任一个奇点都可以作为起点，以另一个奇点作为终点；对于没有奇点的图来说，任一个偶点都可以作为起点，最后仍以这点作为终点.
[巩固]判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画．
E
分析：图a是一个连通的图形，图中只有点A和点F两个奇点，所以它能一笔画，其中一种画法如下：A —M—N—A—F—B—C—B—K—C—D—E—D—L—E—F．‘
图b是一个不连通的图形，所以不能一笔画．
图c是连通图，图中所有点都是偶点，所以能一笔画．其中一种画法如下：A—B—C—D—E—F—D—A—F —C—A．
【例2】右图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同
的速度走遍所有的街道，最后到达 C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最
短路径的话，问两人谁能最先到达C？
分析：本题要求二人都必须走遍所有的街道最后到达C，而且两人的速度相同.因此，
谁走的路程少，谁便可以先到达C.容易知道，在题目的要求下，每个人所走路程都
至少是所有街道路程的总和.仔细观察上图，可以发现图中有两个奇点：A和C.这就
是说，此图可以以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必定大于这个总和，这样甲先到达C.
[巩固]在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的
棱线，最终到达终点D.已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？
分析：许多同学看不出这是一笔画问题，但利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答这
道题.这道题只要求爬过所有的棱，没要求不能重复.可是两只蚂蚁爬速相同，如果一
只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，
自然先到达D点，因而获胜.问题变为从B到D与从E到D哪个是一笔画问题.图中只有E，D两个奇点，所以从E到D可以一笔画出，而从B到D却不能，因此E点的蚂蚁获胜.
[数学小游戏] 用一笔画成四条线段把所有的点连起来，怎样画?
分析：通过试画，似乎不可以画，但通过仔细观察，对照一
笔画的规律，便可发现，若添上两个辅助点，就可画成．如右
图：
F
E D
C
B A
E
D
C
B
A
我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成.公式如下： 奇点数÷2=笔画数，即2n ÷2=n.
【例3】 判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．
I
H G F
E
D C
B
A 图a
H G I K
L
J F E
D
C
B
A 图b D
C H
G E
F
B
A
图c
分析：图a ：原图有四个奇点，所以不能一笔画，在B,D 两点之间加一条线后，图中只有两个奇点，故可以一笔画出，如图d 所示．
画法：H →A →B →C →D →E →F →I →D →B →I →H →G →F ．
图b ：原图有四个奇点，所以不能用一笔画．去掉K ，L 两点之间的连线，图中只有两个奇点，故 可以一笔画出，如图e 所示．
画法：B →C →D →E →F →→J →H →G →I →A →B →K →I →L →E ．
图c ：原图有四个奇点，所以不能用一笔画．在B ，C 两点之间加一条线后，图中只有两个奇点， 故可以一笔画出，如图f 所示．
画法：A →E →D →H →A →B →F →C →G →B →C →D
注意：a 、b 、c 三个图都是连通的图形，但由于每个图的奇点个数均超过两个，所以都不能一笔画．
图d
A B
C
D E
F
G H I
H G
I K
L
J F E
D
C
B A 图e
D
C H
G E
F
B
A
图f
[前铺]观察下面的图，看各至少用几笔画成？
分析：（1）图中有8个奇点，因此需用4笔画成. （2）图中有12个奇点，需6笔画成. （3）图是无奇点的连通图，可一笔画成.
【例4】 将下图改为一笔画.