将军饮马的基本模型以及变形。
给大家提供一个几何模型的手册,忘记模型或不理解模型的时候,可以随时来查看。
主要分为以下几方面:认识模型,确定模型,模型原理,结论,应用(抽图训练)。
01 认识模型
让我们先来了解“将军饮马”这个故事。
古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者,名叫海伦。
有一天,有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题:如图,将军从A出发到河边饮马,然后再到B地军营视察,显然有许多走法。问怎样走路线最短呢?精通数理的海伦稍加思索,便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作”将军饮马”问题。
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河。”诗中也隐含着这种数学问题。
如图所示,将军从A点出发,走到河边饮马后再到B点,怎样走才能使总的路程最短?即在直线L(河流)上找一点P,使PA+PB的值最小。
02 确定模型
基本将军饮马的条件:固定的直线L,直线外两个定点A与B,直线L上的动点P,求PA+PB的最小值。另外还会有许多的变形,下面列举出常见的一些模型。
模型一:PA+PB最小
点A与点B在直线同侧:作点A关于直线的对称点A′,连接A′B与L的交点即为点P。
点A与点B在直线异侧:连接AB与L的交点即为点P。
模型二:|PA-PB|最小
作AB的中垂线与直线L的交点即为点P。|PA-PB|的最小值是0。
模型三:|PA-PB|最大
点A与点B在直线同侧:连接AB与L的交点即为点P。|PA-PB|最大值是AB。
点A与点B在直线异侧:作点B关于直线的对称点B′,连接AB′与L的交点即为点P。|PA-PB|最大值是AB′。
模型四:AP+PQ+QB最小(PQ是直线上定长动线段)
在直线L上找两点P,Q,P在Q左侧,且PQ的距离是定值,使AP+PQ+QB最小。
过点A做AA′//L且AA′=PQ(定值),作点B关于L的对称点B′,连接A′B′与L的交点即为点Q,过点A做A′B′的平行线与L的交点即为点P。
※由于A,B是定点,所以AB距离是固定的,当题目是求四边形APQB的周长最小值时,也可以用同样方法。
模型五:修桥问题 AP+PQ+QB最小
点A与点B是定点,直线a//直线b,在直线a上找一点P,过点P作直线b的垂线交于点Q,使AP+PQ+QB最短。
过点A作直线a的垂线,交a于点C,交b于点D,在AD上截取AE=CD,连接EB与b的交点即是点Q。过点Q作a的垂线,与a的交点即是点P。
模型六:周长最短
三角形:点P是∠MON内部一点,在OM上找一点A,在ON上找一点B,使△PAB周长最小。
作点P关于OM,ON的对称点P1,P2,连接P1P2,与OM的交点即是点A,与ON的交点即是点B。
四边形:点P,点Q是∠MON内部定点,在OM上找一点A,在ON上找一点B,使四边形PABQ周长最小。
作点P关于OM的对称点P′,作点Q关于ON的对称点Q′,连接P′Q′,与OM的交点即是点A,与ON的交点即是点B。
模型七:线段和最小值(垂线段最短)
点P是∠MON内部一点,在OM上找一点A,在ON上找一点B,使PA+AB最小。
作点P关于OM的对称点P′,过点P′作ON的垂线与OM的交点即是点A,与ON的交点即是点B。
模型八:坐标系里的应用
可以参考之前的文章:
坐标系中的将军饮马,如何求点关于直线的对称点
坐标系中将军饮马,点关于直线对称点 练习题
03 模型原理
将军饮马的基本原理比较简单,主要是以下几点
①两点间线段最短
②三角形两边之和大于第三边
③垂线段最短(主要应用在线段和最值问题中)
例如上图,过点A作关于直线L的对称点A′,然后连接A′B交直线于点P,那么PA+PB最小。
简证:设Q是直线L上P以外任意一点,则在△BA′Q中,有A′Q+BQ>A′B(三角形两边之和大于第三边)。
由于PA′=PA,也可以理解为点B与点A′间线段最短。
04 结论
掌握上述的基本结论后,对于一些升级的将军饮马问题,都可以通过翻折运动(作对称点)的相关性质来转化线段,然后利用上述的基本原理来解决。
05 抽图训练
例1,如图,正方形ABCD的边长为4,点E在CD上,且DE=1,点P是AC上一个动点,求PD+PE的最小值。
确认模型:定点D,定点E,AC上动点P,求PD+PE的最小值。
标准的将军饮马(两定点在直线同侧)
参照下图,作点E关于AC的对称点E′,连接DE′与AC的交点即是点P,DE′即是所求。参考答案:5。
例2,如图,等腰直角三角形ABC,AC=BC=4,∠BCD=15°,P为射线CD上动点,求|PA-PB|的最大值。
确认模型:定点A,定点B,CD上动点P,求|PA-PB|的最大值。
属于模型三:直线异侧
参照下图,作点A关于CD的对称点A′,连接A′B与CD的交点即是点P,A′B即是所求。参考答案:4。(导角易知△A′BC为等边三角形)
例3,如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5,点M和点N是射线OA和射线OB上的动点,若△MPN周长的最小值是5,求∠AOB的度数。
确认模型:动点M,动点N,∠AOB内动点P,△MPN周长的最小值。
符合模型六:三角形周长最短
参照下图,作点P关于OB的对称点C,关于OA的对称点D。连接CD与OA的交点即是点M,与OB的交点即是点N。
即CD=5,OC=OP=5,OD=OP=5。所以△COD是等边三角形,∠AOB=30°。
例4,如图,长方形ABCD中,AB=6,BC=8,G是AB中点。E与F(在E右侧)是边BC上动点,且EF=3,求四边形DGEF边长的最小值。
确认模型:定点D,定点G,BC上动点E,动点F,EF定长,由于DG为定值,相当于求GE+EF+DF的最小值。
符合模型四
参照下图,作G关于BC的对称点H,在DA上截DP=EF。连接HP与BC的交点即是点E。
DG,EF为定值,利用勾股定理求出PH即可。
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