文章信息
论文题目为《A Timetable Optimization Model for Urban Rail Transit with Express/Local Mode》，该文于2021年发表于《Journal of Advanced Transportation》上。文章以最小化乘客在站台的总等待时间目标函数，建立了快慢车模式下的时刻表优化模型。
摘要
目前，快慢车模式已经在城市轨道交通的运营中得到广泛地研究和应用，并有利于长途旅行。列车运行模式和时刻表的优化在快车/慢车模式的应用中具有重要作用。在既有的研究中，前者已经得到了广泛的讨论，而对时间表优化的研究却很有限。在本研究中，通过最小化乘客在站台的总等待时间来提出时间表优化模型。此外，使用遗传算法对该模型进行求解。研究使用了从广州地铁14号线收集的数据，发现乘客在站台的总等待时间减少了9.3%。结果表明，与传统时刻表相比，该模型可以减少乘客等待时间。
问题描述
在快慢车模式中，所有的车站分为“小站”和“大站”两类，大站为允许快车停靠的车站，小站为允许快车跳过的车站。如此可以减少快车的总旅行时间。图1为快慢车模式的示意图。图中，实心圆代表列车停靠模式，实心正方形表示小车站，空心正方形表示大车站，阴影正方形表示超车车站，超车车站是快车超越慢车的地方。当超车事件发生时，前方的慢车将停在超车站，直到下一列快车顺利通过该站。如果超车车站是大站，快车和慢车都将停下来为乘客服务，完成超车可能需要更长的时间。因此，超车车站一般选在小车站，文章也不考虑车站超饱和情况。快车和慢车的发车比例为1：N(N已知)。
图 1 快慢车模式
图2表示快慢车模式下的列车发车周期，列车3为一个周期TDC中的快车，z为超车车站,
表示超车车站之前的车站为1,2,…,z-1,
表示超车车站及之后的车站z,z+1,…,n。此循环中，最后一列列车离开第一个车站时，该循环结束，同时下一个循环开始。在此循环中，包含列车0，列车1…列车N+1。
图 2 快慢车模式下的列车发车周期
该周期循环中的时间如下：
(1)表示列车0离开1车站的时间为0时刻。
(2)表示针对列车1到列车N+1，列车k离开车站1的时刻为列车0离开1车站的时刻加k个发车间隔。
(3)表示列车k到达i车站(不含1车站)的时间为列车的离开时间减它在i车站的停站时间。
(4)中
表示慢车在i车站的停站时间，若i车站为大车站且列车k为快车则它在i车站的停站时间为
，若i车站为小车站且列车k为快车，则停站时间为0。
模型构建
1.模型假设
(1) 真实世界的O-D数据已知，在时间间隔
内，相同O-D的乘客具有稳定的到达率。
(2)在一条地铁线上只有一个超车车站，即快车在行驶过程中只能超车一次。
(3) 快/慢车的发车按照周期进行，每个周期由一列快车和N列慢车组成，此为列车发车周期（TDC）。
2. 变量定义
模型输入参数与间接变量的定义如表 1 所示。文章的决策变量为列车k在i站的停站时间
和前后两辆列车的到发间隔
。
表 1 参数和变量
3.目标函数
在快慢车模式下，快车超过慢车后，列车的到站顺序会发生改变，文章考虑了五种情况下的列车。
情况1：该车为慢车，这些列车的前后也都是慢车，如图3中的列车5到列车N+1。
情况2：该车为慢车，在到达超车站之前，它在两列慢车之间运行。通过超车站后，在慢车和快车之间运行，即图2中的列车1。
情况3：该车为慢车，在超车站被快车超车，即图3中的列车2。
情况4：该车为快车，例如图2中的列车3。
情况5：该车为慢车，在到达超车站之前，它在快车和慢车之间运行。通过超车站后，在两列慢车之间运行，即图2中的列车4。
根据假设（3）一个发车周期只有一列快车，因此情况2—5中所提到的列车是唯一的，发车比例不同，则一个发车周期中包含的情况数量也可能不同，如图3所示。当N＞3时，一个TDC中包括所有五种情况，N=3时，TDC包含4种情况，N=2时TDC包含3种情况，N=1时，包含两种情况的列车。
图 3 不同比例下的周期
（1）计算发车间隔
结合上述五种情况，计算每种情况的列车发车间隔。
情况1：这些列车不受快车影响，其发车间隔为列车k在i车站的发车时刻减前车k-1在i站的离站时刻，即
情况2：与情况1相同。
情况3：在慢车到达超车车站之前，发车间隔同情况1和情况2一致；慢车到达超车车站时，需要等待快车通过车站，列车顺序改变，在该车站的发车间隔主要体现在该慢车和快车之间，在小车站，快车不停，发车间隔体现在该车与慢车之间。即公式（6）
情况4：快车不会在小车站停车，只需要计算i站为大车站时的发车间隔，若i站为超车车站及之后的车站集合，则发车间隔体现在列车3和列车1之间。
情况5：在这列慢车到达超车站之前，一列快车在这列慢车前面行驶，在不同车站的发车时间不同，发车间隔如下
(2)计算PWT(在站等待时间)
首先计算
，乘客到达率是固定的，到达i站前往j站的人数为乘客到达率乘发车间隔除以研究时段。
有快慢车的存在，所以有一些乘客宁愿在站等待快车到来，另一些则愿意坐他们到达车站后的第一辆列车。这些情况如表2所示。其中第1/2/4/6/7类乘坐即将到达的列车，第3/5/7类为换车行为，第9类表示乘客到达后的第一辆列车是慢车，在慢车后面是快车，乘客会选择等待快车到来，一般情况，为了方便乘客一般不会选择换车乘坐。