1 问题的提出
关于幻方的研究由来已久,中国古书《易经》中记载的洛书是世界上最早的幻方.随后,幻方传入世界各地,引起了广泛关注,取得了许多成果.幻方不仅具备美感,还蕴含着许多奇特的奥秘,具体可参看文献[1, 2, 3].随着计算机的快速发展,幻方广泛应用于人工智能、图像处理、图论及对策论等方面.
定义1对任意的正整数n≥3,将1,2,…,n2填入n×n的矩阵中,使得矩阵的每行、每列及对角线之和均为同一个数s,这样的矩阵称为幻方矩阵(或魔方矩阵),简称为幻方,s为幻方值.
显然,n阶幻方中所有整数的和为 1+2+…+n2= n2(n2+1)/2
按照幻方的定义即知2s=n(n2+1).
文献[4]通过对幻方矩阵特征值的分析,给出了一种构造奇数阶非奇异幻方的方法,但并未给出其特征值的计算公式.文献[5]给出了幻方的精彩应用案例.文献[6]讨论了奇数阶幻方的一种构造方法.除此之外,幻方的构造方法还有很多,在文献[2]中有详细的介绍.文献[7]给出了利用线性空间理论来构造幻方的方法.文献[8]对奇数阶幻方特征值给出了一个猜测:奇数阶幻方的特征值均为实特征值,除最大特征值为幻方矩阵的幻方值外,其它特征值正负成对出现.
现对文献[7]中奇数阶幻方的一种构造方法进行改造,给出奇数阶幻方的一种代数表示方法.基于这种表示法,应用循环矩阵和对称循环矩阵的性质,对奇数阶幻方特征值进行分析,最后给出奇数阶幻方全部特征值的统一计算公式.因此,发现文献[8]中关于奇数阶幻方特征值的猜想是错误的.
为了分析奇数阶幻方特征值的性质,需要以下的概念与结论.
定义2[9]若n阶复矩阵 A ∈Cn×n具有形状
则称 A 为n阶循环矩阵,记为 A =circ(a0,a1,…,an－1).称 π =circ(0,1,0,…,0)为基本循环矩阵,即
显然, π 为正交矩阵,则必为正规矩阵,从而 π 在复数域上可以对角化.因为, π n= E 且 π k≠ E (其中,k E 为单位矩阵),所以, π 的n 个特征值分别为1,ε,ε2,…,εn－1,其中,ε为n次单位原根,相对应的特征向量为 α 0, α 1,…, α n－1,可解得 α i = (1,εi,ε2i,…,ε(n－1)i),i=0,1,2,…,n－1
定义3[9]若n阶复矩阵 B ∈Cn×n具有形状
则称 B 为n阶对称循环矩阵,记为 B =sc(a0,a1,…,an－1).称 σ =sc(0,0,…,0,1,0)为基本对称循环矩阵,即
引理1[9]矩阵 A , B 由式(1)和(2)定义,则有表示
2 奇数阶n=2m+1(m≥1)幻方的构造
引理2中关于奇数阶幻方的构造方法引自文献[7].
引理2矩阵 M =n A n+ B n+ H n为n=2m+1(m≥1)阶幻方,其中 A n=circ(m,m+1,…,m－1)即
B n为 A n逆时针旋转90°所得矩阵, H n为元素全为1的矩阵.
现对这种构造作以下改造.为此,先证明引理3.
引理3矩阵 π 为基本循环矩阵, σ 为基本对称循环矩阵,则有 π σ = σ π n－1, π m+1 σ = σ π m
证明易验证 σ π n－1= σ π n π －1= σ π －1,从而有 π σ = σ π n－1成立.往证另一算式成立.由 π σ = σ π n－1可得 π m+1 σ = π m( π σ )= π m σ π n－1= π m－1( π σ ) π n－1= π m－1 σ π 2(n－1)= π m－2( π σ ) π 2(n－1)= π m－2 σ π 3(n－1)=…= πσ π m(n－1)= σ π (m+1)(n－1)= σ π m
结合引理2和引理3可得定理1.
定理1令g(x)=ixi,则n阶幻方矩阵 M 可表为 M = π m+1[ng( π )+ σ π g( π －1)]+ H n
证明
由引理1和引理2可将 M 写成
结合引理3及恒等式 π n= π 2m+1= E ,得
3 幻方特征值的计算
现基于定理1求出奇数阶幻方的特征值.由于相似矩阵具有相同的特征值,因此,要计算幻方矩阵 M 的特征值,只需考虑矩阵 P －1 M P .结合文献[10]可得定理2.
定理2存在n阶可逆矩阵 P ,使得 P －1 π P 和 P －1 H n P 均为对角阵,且
证明 令 P =( α 0, α 1,…, α n－1),其中, α i=(1,εi,ε2i,…,ε(n－1)i),i=0,1,…,n－1.显然, P 是范德蒙矩阵,从而 P 可逆.易验证 P －1 π P =diag(1,ε,ε2,…,εn－1), P －1 H n P =diag(n,0,0,…,0).由引理3, π σ = σ π －1,有 ( P －1 π P )( P －1 σ P )=( P －1 σ P )( P －1 π n－1 P )
记 P －1 σ P =(aij)n×n,即为
解得
进一步,将 P =( α 0, α 1,…, α n－1)代入式(3),得uk=ε2k,k=0,1,2,…,n－1.
由定理1计算得 P －1 M P = P －1[ π m+1(ng( π )+ σ π g( π －1))] P +
P －1 H n P =( P －1 π P )m+1[ng( P －1 π P )+( P －1 σ P )( P －1 π P )g( P －1 π －1 P ))] P + P －1 H n P因此,结合定理2,有定理3.
定理3令f(x)=xm+1g(x),则
定理4对任意正整数k,0≤k≤n,有
a. f(εk)+f(εn－k)=0;
b.f(εk)f(εn－k)= n2/2－(εk+εn－k) .
证明 利用Abel分部求和公式[11],得
现证明a和b成立.
a.f(εk)+f(εn－k)= nεk(m+1)/(εk－1)+ nε(n－k)(m+1)/(εn－k－1)= nεk(m+1)/(εk－1)+ nε(n－k)(m+1)+k /(1－εk )=0;
b.f(εk)f(εn－k)= nεk(m+1)/(εk－1)nε(n－k)(m+1)/(εn－k－1)= n2/(2－(εk+εn－k)).
即定理4成立.
由定理2～4得定理5.定理5给出了奇数阶幻方全部特征值的统一计算公式.
定理5n=2m+1(m≥1)阶幻方 M 的全部特征值为
式中,i为虚数单位,即i2=－1.
证明 计算行列式φ(λ)= λ E － P －1 M P |,得
对任意正整数k,εk与εn－k总是共轭的,因此,εk+εn－k∈R,且有 εk+εn－k=2Re(εk)于是,令φ(λ)=0,可知 M 的全部特征值由式(4)给出.
4 结 论研究结果表明,奇数阶幻方矩阵有实特征值s,其它特征值均为纯虚数且共轭出现,其数值由式 (4) 给出.鉴于此,发现文献[8]中关于奇数阶幻方的特征值的猜想是错误的.例如,当n=3时,3阶幻方的特征值分别为15,2 6 i,－2 6 i,其特征值中有纯虚数,并非全是实数.